Devoir surveillé — Lois discrètes

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

1. Une association organise une loterie : un jeton numéroté de $1$ à $20$ est tiré au hasard dans un sac, tous les jetons ayant la même probabilité d'être tirés. On note $X$ le numéro du jeton obtenu.

   a. Quelle est la loi suivie par $X$ ? Donner $P(X=k)$ pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $20$. (0,5 pt)

   b. Calculer $P(X⩾16)$. (0,5 pt)

   c. Calculer $E(X)$. (0,5 pt)

2. Dans cette question, la calculatrice est interdite. On rappelle les premières lignes du triangle de Pascal :

   $n\mathrm{\backslash }k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
   $0$	$1$
   $1$	$1$	$1$
   $2$	$1$	$2$	$1$
   $3$	$1$	$3$	$3$	$1$

   a. Reproduire ce tableau et le compléter avec les lignes $n=4$ et $n=5$, en expliquant la règle de construction utilisée. En déduire la valeur de ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)}$. (1 pt)

   b. Sachant que ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{2}\right)}=36$, donner sans calcul la valeur de ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{7}\right)}$, en justifiant par une propriété du cours. (0,5 pt)

3. Vrai ou faux ? Justifier soigneusement la réponse.

   « Dans l'arbre associé à un schéma de Bernoulli de taille $10$, il y a exactement ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{3}\right)}$ chemins qui réalisent exactement $3$ succès. » (1 pt)

Le service client d'un opérateur téléphonique affirme que $85\mathrm{\%}$ des appels reçus sont traités en moins de $5$ minutes. On choisit au hasard $25$ appels reçus par le standard ; on admet que le grand nombre d'appels reçus permet d'assimiler ce choix à $25$ tirages indépendants, et que chaque appel est traité en moins de $5$ minutes avec la probabilité $\mathrm{0,85}$.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'appels, parmi les $25$, traités en moins de $5$ minutes.

1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(25;\mathrm{0,85})$. (1 pt)

2. Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $25$, exprimer $P(X=k)$ en fonction de $k$. (1 pt)

3. À l'aide de la calculatrice, calculer, en arrondissant à ${10}^{-4}$ : (1,5 pt)

   a. $P(X=22)$

   b. $P(X⩾20)$

4. Calculer $E(X)$, puis l'écart type $\sigma (X)$ arrondi à ${10}^{-2}$. Interpréter la valeur de $E(X)$ dans le contexte de l'exercice. (1,5 pt)

5. Déterminer, en détaillant la méthode, le plus petit entier $a$ tel que $P(X⩾a)⩾\mathrm{0,95}$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice : que peut garantir l'opérateur à ses clients ? (2 pts)

Un joueur de fléchettes atteint le centre de la cible avec la probabilité $\mathrm{0,25}$ à chaque lancer. On admet que les lancers sont indépendants les uns des autres et que le joueur lance autant de fois que nécessaire.

On note $X$ la variable aléatoire égale au rang du lancer où le joueur atteint le centre pour la première fois.

1. Justifier que $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre, puis donner $P(X=k)$ pour tout entier $k⩾1$. (1 pt)

2. Calculer $P(X=4)$ : donner la valeur exacte, puis un arrondi à ${10}^{-4}$. (0,75 pt)

3. Calculer $P(X>5)$ : donner la valeur exacte, puis un arrondi à ${10}^{-4}$. (0,75 pt)

4. Le joueur a raté ses $3$ premiers lancers. Quelle est la probabilité que le premier centre arrive après le $8^{\text{e}}$ lancer ?

   a. Répondre en citant la propriété du cours utilisée. (0,75 pt)

   b. Retrouver ce résultat par le calcul du quotient ${\displaystyle \frac{P(X>8)}{P(X>3)}}$. (0,75 pt)

5. Calculer $E(X)$ et interpréter cette valeur en une phrase dans le contexte de l'exercice. (1 pt)

Une usine fabrique des pièces mécaniques dans deux ateliers. L'atelier A assure $60\mathrm{\%}$ de la production et $2\mathrm{\%}$ de ses pièces présentent un défaut. L'atelier B assure les $40\mathrm{\%}$ restants et $5\mathrm{\%}$ de ses pièces présentent un défaut.

On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $A$ l'événement « la pièce provient de l'atelier A », $B$ l'événement « la pièce provient de l'atelier B » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation, puis montrer que $P(D)=\mathrm{0,032}$. (1,5 pt)
2. La pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'atelier B ? (0,75 pt)
3. On prélève maintenant $10$ pièces dans la production ; le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à $10$ tirages indépendants. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses parmi les $10$. Donner, en justifiant, la loi de $Y$, puis calculer $P(Y⩾1)$ en arrondissant à ${10}^{-4}$. (1 pt)
4. Calculer $E(Y)$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. (0,75 pt)