Exercices — Lois à densité

Le temps d'attente, en minutes, d'un client à un guichet est modélisé par une variable aléatoire $X$ dont la densité de probabilité $f$ est définie par :

1. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité sur $[0;5]$. On pourra s'appuyer sur l'aire d'un rectangle, sans calcul de primitive.
2. Calculer $P(1⩽X⩽3)$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
3. Calculer $P(X>4)$.
4. Que vaut $P(X=2)$ ? Expliquer ce résultat à l'aide d'une aire.

Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle définit une densité de probabilité sur l'intervalle indiqué (la fonction est nulle en dehors). On justifiera à chaque fois la réponse en vérifiant les deux conditions : positivité sur l'intervalle et intégrale égale à $1$.

1. Soit $k$ un réel. On considère la fonction $f$ définie par $f(t)=k{t}^2$ pour $t\in [0;3]$ et $f(t)=0$ sinon.

   a. Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité sur $[0;3]$.

   b. On note $X$ une variable aléatoire de densité $f$. Calculer $P(1⩽X⩽2)$.

   c. Calculer $P(X⩾2)$.

2. Même démarche avec la fonction $g$ définie par $g(t)=k(4-t)$ pour $t\in [0;4]$ et $g(t)=0$ sinon.

   a. Déterminer la valeur de $k$ pour que $g$ soit une densité de probabilité sur $[0;4]$.

   b. On note $Y$ une variable aléatoire de densité $g$. Calculer $P(Y⩽2)$.

La durée $X$, en heures, d'une randonnée choisie au hasard dans un catalogue est modélisée par une variable aléatoire dont la densité de probabilité $f$ est représentée ci-dessous. La courbe est formée de deux segments : elle part de l'origine, monte jusqu'au point de coordonnées $(2;\mathrm{0,5})$, puis redescend jusqu'au point $(4;0)$. La fonction $f$ est nulle en dehors de l'intervalle $[0;4]$.

1. Vérifier, à l'aide d'un calcul d'aire de triangle, que l'aire totale sous la courbe vaut bien $1$.
2. Déterminer graphiquement $P(X⩽2)$. Quelle propriété de la courbe rend cette lecture immédiate ?
3. Calculer $P(X⩽1)$ à l'aide d'une aire de triangle.
4. En déduire $P(1⩽X⩽3)$. On pourra utiliser la symétrie de la courbe et le passage au complémentaire.
5. Déterminer l'expression de $f(t)$ sur $[0;2]$, puis sur $[2;4]$.

Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ définie par $f(t)=2t$ pour $t\in [0;1]$ et $f(t)=0$ sinon. On note $F$ sa fonction de répartition, définie pour tout réel $x$ par $F(x)=P(X⩽x)$.

1. Justifier que, pour tout $x\in [0;1]$, on a $F(x)=x^2$.
2. Que vaut $F(x)$ lorsque $x<0$ ? Lorsque $x>1$ ? Justifier en une phrase à chaque fois.
3. À l'aide de $F$, calculer $P(X⩽\mathrm{0,5})$.
4. À l'aide de $F$, calculer $P(\mathrm{0,25}⩽X⩽\mathrm{0,75})$.
5. On appelle médiane de $X$ le réel $m$ tel que $F(m)=\mathrm{0,5}$. Déterminer la valeur exacte de $m$, puis en donner un arrondi au centième.

Une variable aléatoire $X$ a pour fonction de répartition la fonction $F$ représentée ci-dessous : $F$ est nulle avant $1$, croît de façon affine du point $(1;0)$ au point $(5;1)$, puis reste constante égale à $1$ après $5$.

1. Lire graphiquement $F(2)$ et $F(4)$.
2. En déduire $P(2⩽X⩽4)$.
3. Lire graphiquement la médiane de $X$, c'est-à-dire le réel $m$ tel que $F(m)=\mathrm{0,5}$.
4. Quelle loi usuelle la variable aléatoire $X$ suit-elle ? Justifier à partir de l'allure de $F$ et des valeurs lues.
5. Retrouver par le calcul l'expression $F(x)={\displaystyle \frac{x-1}{4}}$ pour $x\in [1;5]$, à partir de la densité de la loi reconnue à la question précédente.

On rappelle que si $X$ est une variable aléatoire de densité $f$ sur un intervalle $[a;b]$, son espérance est donnée par :

Calculer l'espérance de $X$ dans chacun des cas suivants. Les calculs intégraux seront entièrement rédigés.

1. $X$ a pour densité $f(t)=2t$ sur $[0;1]$ (et $f(t)=0$ sinon).
2. $X$ a pour densité $f(t)={\displaystyle \frac{3t^2}{64}}$ sur $[0;4]$ (et $f(t)=0$ sinon). On vérifiera d'abord qu'il s'agit bien d'une densité.
3. $X$ suit la loi de densité constante sur $[2;6]$. Préciser d'abord la valeur de cette constante, puis calculer $E(X)$ et commenter la position du résultat dans l'intervalle $[2;6]$.

L'erreur de mesure, en millimètres, commise par un capteur est modélisée par une variable aléatoire $X$ dont la densité $f$ est définie par :

où $k$ est un réel strictement positif.

1. Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité sur $[-2;2]$.
2. Calculer $E(X)$. Ce résultat était-il prévisible au vu de la courbe de $f$, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ?
3. On rappelle que $V(X)=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^2\right)-{(E(X))}^2$ avec $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^2\right)={\displaystyle {\int }_{-2}^2{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t}$. Calculer $V(X)$.
4. En déduire l'écart type $\sigma (X)$, arrondi au centième. Interpréter ce nombre dans le contexte de l'exercice.

Sur une ligne de tramway, un tramway passe toutes les $12$ minutes. Un voyageur arrive à l'arrêt sans consulter les horaires : son temps d'attente, en minutes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0;12]$.

1. Donner la densité $f$ de la variable aléatoire $X$.

2. Calculer les probabilités suivantes :

   a. $P(X⩽3)$

   b. $P(4⩽X⩽10)$

   c. $P(X>9)$

3. Calculer le temps d'attente moyen du voyageur.

4. On admet que la variance d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$ vaut $V={\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{12}}$. Calculer la variance de $X$, puis son écart type $\sigma$ (valeur exacte, puis valeur arrondie au centième de minute).

La durée d'une visioconférence hebdomadaire, en minutes, est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[20;60]$.

1. Calculer $P(X>45)$ et $P(30⩽X⩽50)$.

2. La réunion dure depuis déjà $30$ minutes. On veut connaître la probabilité qu'elle dépasse $45$ minutes, c'est-à-dire calculer la probabilité conditionnelle $P_{X>30}(X>45)$.

   a. Rappeler la formule des probabilités conditionnelles, puis justifier que :

   $$P_{X>30}(X>45)=\frac{P(X>45)}{P(X>30)}$$

   b. Calculer cette probabilité.

3. Comparer $P_{X>30}(X>45)$ avec $P(X>15)$. La loi uniforme est-elle « sans mémoire » ? Comparer avec ce que l'on sait de la loi exponentielle.

La durée de vie, en années, d'un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,05}$.

1. Rappeler l'expression de la densité $f$ de la variable aléatoire $X$.

2. Calculer la probabilité que le composant tombe en panne avant $10$ ans. On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie à ${10}^{-3}$.

3. Calculer la probabilité que le composant fonctionne encore après $30$ ans (valeur exacte puis arrondie à ${10}^{-3}$).

4. Quelle est la durée de vie moyenne de ce composant ?

5. On appelle médiane de $X$ le réel $m$ tel que $P(X⩽m)=\mathrm{0,5}$. Déterminer la valeur exacte de $m$, puis une valeur arrondie au dixième d'année. Comparer avec la durée de vie moyenne.

Le temps de téléchargement d'un fichier sur un serveur, en secondes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ inconnu.

Des mesures ont montré que $80\mathrm{\%}$ des téléchargements durent au plus $9$ secondes, c'est-à-dire :

1. Montrer que $\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 5}{9}}$, puis en donner une valeur arrondie à ${10}^{-3}$.

2. Calculer la probabilité qu'un téléchargement dure plus de $7$ secondes (valeur exacte, puis valeur arrondie à ${10}^{-3}$).

3. Calculer $P(4⩽X⩽5)$ (valeur exacte, puis valeur arrondie à ${10}^{-3}$).

4. Calculer le temps de téléchargement moyen, arrondi à ${10}^{-3}$ près.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda >0$. On rappelle que, pour tout réel $x⩾0$, $P(X>x)={\mathrm{e}}^{-\lambda x}$.

1. Soient $t$ et $h$ deux réels positifs. Démontrer que :

   $$P_{X>t}(X>t+h)=P(X>h)$$

   On pourra remarquer que $\{X>t+h\}\cap \{X>t\}=\{X>t+h\}$.

2. Application. La durée de vie d'une ampoule LED, en heures, suit une loi exponentielle de durée de vie moyenne $10000$ heures.

   a. Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi.

   b. Une ampoule fonctionne déjà depuis $3000$ heures. Calculer la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins $5000$ heures de plus (valeur exacte, puis valeur arrondie à ${10}^{-3}$).

3. Comparer le résultat de la question 2.b avec $P(X>5000)$. Pourquoi dit-on qu'une loi exponentielle modélise un phénomène « sans usure » ?

4. Quelle loi discrète, étudiée au chapitre précédent, possède la même propriété d'absence de mémoire ?

La durée de vie d'un noyau radioactif, en années, est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda >0$. La demi-vie de l'élément, notée $t_{1\mathrm{/}2}$, est la durée telle que :

1. Montrer que $t_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$.

2. Le césium 137 a une demi-vie de $30$ ans.

   a. Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, puis une valeur arrondie à ${10}^{-4}$.

   b. Calculer la probabilité qu'un noyau de césium 137 « survive » $60$ ans, puis $90$ ans. On donnera les valeurs exactes sous forme de fractions.

   c. Retrouver le résultat pour $60$ ans à l'aide de la propriété d'absence de mémoire : que devient la probabilité de survie à chaque nouvelle période de $30$ ans ?

3. Un échantillon contient initialement $N_0$ noyaux de césium 137, dont les durées de vie sont indépendantes.

   a. Justifier qu'après $t$ années, le nombre de noyaux non désintégrés est environ $N_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$.

   b. Quelle proportion de l'échantillon reste-t-il au bout de $100$ ans ? Arrondir à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$.

4. On veut vérifier la valeur de la demi-vie par simulation. Recopier et compléter les deux lignes marquées ... pour que le script estime la proportion de noyaux qui survivent plus de $30$ ans parmi $10000$ noyaux simulés. Quelle valeur approximative doit-il afficher ?

   import random
   import math
   
   def simule_expo(lam):
       return -math.log(1 - random.random()) / lam
   
   lam = math.log(2) / 30
   compteur = 0
   for i in range(10000):
       duree = ...
       if duree > 30:
           compteur = ...
   print(compteur / 10000)
   

En Python, après import random, l'appel random.random() renvoie un nombre aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0;1[$.

1. Recopier et compléter la fonction ci-dessous pour qu'elle simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$, puis justifier la formule utilisée.

   import random
   
   def uniforme(a, b):
       return ...
   

2. On rappelle qu'une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ si elle vaut $1$ avec la probabilité $p$ et $0$ avec la probabilité $1-p$. Écrire une fonction bernoulli(p) qui simule une telle variable à partir de random.random(), et justifier son fonctionnement en calculant $P(U<p)$ pour $U$ uniforme sur $[0;1[$.

3. Justifier que la fonction ci-dessous simule le lancer d'un dé équilibré à six faces. On expliquera pourquoi chaque face a la même probabilité ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ d'être obtenue.

   import random
   
   def de():
       return int(6 * random.random()) + 1
   

4. Vrai ou faux ? Soit $U$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0;1]$. La variable aléatoire $Y=5U+2$ suit la loi uniforme sur $[2;10]$. Justifier, et corriger l'affirmation si elle est fausse.

Une usine étudie une machine de découpe sous deux angles : le temps de fabrication d'une pièce, et la durée de fonctionnement sans panne de la machine.

Partie A — Temps de fabrication

Le temps de fabrication d'une pièce, en minutes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ dont la densité est définie sur $[0;6]$ par $f(t)=kt(6-t)$, où $k$ est un réel strictement positif.

1. Montrer que $k={\displaystyle \frac{1}{36}}$.

2. Calculer $P(2⩽X⩽4)$. On donnera la valeur exacte sous forme de fraction irréductible.

3. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Partie B — Durée de fonctionnement sans panne

La durée de fonctionnement de la machine sans panne, en jours, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle. La durée moyenne de fonctionnement sans panne est de $50$ jours.

1. Justifier que le paramètre de la loi de $Y$ est $\lambda =\mathrm{0,02}$.

2. Calculer la probabilité que la machine fonctionne plus de $30$ jours sans panne (valeur exacte, puis valeur arrondie à ${10}^{-3}$).

3. La machine fonctionne sans panne depuis $20$ jours. Calculer la probabilité qu'elle atteigne $50$ jours de fonctionnement sans panne. On citera la propriété utilisée.

4. Déterminer la valeur exacte de la médiane de $Y$, puis une valeur arrondie au dixième de jour.

Partie C — Planification de la maintenance

1. Exprimer, pour tout réel $t⩾0$, la fonction de répartition $F(t)=P(Y⩽t)$.

2. Le service de maintenance cherche à partir de quelle date $t$, en jours, la probabilité qu'une panne soit déjà survenue atteint au moins $\mathrm{0,95}$. Résoudre l'inéquation $P(Y⩽t)⩾\mathrm{0,95}$ (valeur exacte, puis valeur arrondie au dixième de jour) et conclure pour la planification de la maintenance.