Devoir surveillé — Fonction logarithme népérien

1. Simplifier chacun des nombres suivants, en citant la propriété utilisée. (0,5 pt par réponse)

   a. $\ln \left({\mathrm{e}}^3\right)$

   b. ${\mathrm{e}}^{\ln 7}$

   c. $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$

   d. $\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$

2. Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et $\ln 5$. (0,5 pt par réponse)

   a. $\ln 10$

   b. $\ln 50$

   c. $\ln \mathrm{0,4}$

3. Vrai ou faux ? Justifier soigneusement la réponse. (0,5 pt)

   « Pour tous réels $a>0$ et $b>0$, on a $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$. »

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et l'inéquation suivantes. Pour chacune, on précisera d'abord l'ensemble sur lequel elle est définie.

1. ${\mathrm{e}}^x=5$ (0,5 pt)
2. $\ln x+\ln (x-3)=\ln 10$ (1,5 pt)
3. $(\ln x{)}^2-\ln x-2=0$ (on pourra poser $X=\ln x$) (1,5 pt)
4. ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}t}⩽\mathrm{0,2}$, d'inconnue $t$ (1,5 pt)

Une entreprise achète un véhicule utilitaire neuf au prix de $24000$ €. D'après un site spécialisé, un véhicule de ce type perd $18\mathrm{\%}$ de sa valeur chaque année.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ la valeur du véhicule, en euros, au bout de $n$ années. Ainsi $v_0=24000$.

1. Justifier que la suite $(v_n)$ est géométrique, préciser sa raison, et en déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. (1,5 pt)
2. Calculer la valeur du véhicule au bout de $3$ ans, arrondie à l'euro. (0,5 pt)
3. L'entreprise décide de revendre le véhicule dès que sa valeur devient strictement inférieure au quart de son prix d'achat. Déterminer, en résolvant une inéquation à l'aide de la fonction logarithme et en détaillant chaque étape, au bout de combien d'années cela se produit. (2 pts)
4. Le site spécialisé affirme : « au bout de $10$ ans, un véhicule de ce type a perdu plus de $85\mathrm{\%}$ de sa valeur d'origine ». Cette affirmation est-elle vraie dans ce modèle ? Justifier par un calcul. (1 pt)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

1. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ? (1 pt)

2. Montrer que pour tout réel $x>0$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x-2}{x}}$. (1 pt)

3. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises). (1,5 pt)

4. En déduire que $f$ admet un minimum sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ ; donner sa valeur exacte, une valeur approchée au centième, et préciser son signe. (0,5 pt)

5. On s'intéresse à l'équation $f(x)=0$.

   a. Vérifier que $1$ est solution de cette équation. (0,5 pt)

   b. Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]2;+\mathrm{\infty }[$, puis donner le nombre total de solutions de cette équation sur $]0;+\mathrm{\infty }[$. (1 pt)

6. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude ${10}^{-1}$. (0,5 pt)