Exercices — Proportionnalité et fonctions (introduction)

Pour chacune des situations suivantes, dire s'il s'agit d'une situation de proportionnalité. Justifier chaque réponse par une phrase.

a. Au marché, les tomates sont vendues $3$ € le kilogramme. On s'intéresse au prix payé en fonction de la masse de tomates achetée.

b. On s'intéresse à la taille d'un enfant en fonction de son âge.

c. On s'intéresse au périmètre d'un carré en fonction de la longueur de son côté.

d. On s'intéresse à l'aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté.

e. Un forfait téléphonique coûte $10$ € par mois, plus $\mathrm{0,05}$ € par minute d'appel. On s'intéresse au montant de la facture en fonction de la durée totale des appels.

f. Léna lit toujours à la même vitesse : $2$ pages par minute. On s'intéresse au nombre de pages lues en fonction du temps de lecture.

Pour chacun des trois tableaux suivants, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. Justifier en calculant les quotients, et donner le coefficient de proportionnalité lorsqu'il existe.

1. À la papeterie :

   Nombre de cahiers	$2$	$3$	$5$	$8$
   Prix (€)	$6$	$9$	$15$	$24$

2. Au rayon fruits :

   Masse de pommes (kg)	$2$	$4$	$6$	$10$
   Prix (€)	$3$	$6$	$9$	$15$

3. Chez un imprimeur de photos (tarif dégressif) :

   Nombre de tirages	$2$	$4$	$6$	$10$
   Prix (€)	$5$	$10$	$14$	$20$

1. Recopier et compléter le tableau de proportionnalité suivant, dont le coefficient de proportionnalité est $6$ (on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par $6$).

   Nombre d'articles	$2$	$5$	$?$	$9$
   Prix (€)	$?$	$?$	$42$	$?$

2. Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité. Déterminer son coefficient de proportionnalité, puis recopier et compléter le tableau.

   Masse (kg)	$4$	$6$	$?$	$11$
   Prix (€)	$10$	$?$	$20$	$?$

Au marché, Madame Rivière achète des pêches sur l'étal d'un producteur. Le prix payé est proportionnel à la masse achetée. Ce matin, $3\text{ kg}$ de pêches coûtent $\mathrm{7,50}$ €.

1. Calculer le prix d'un kilogramme de pêches. Que représente ce nombre pour le tableau de proportionnalité de cette situation ?

2. Calculer le prix de $5\text{ kg}$ de pêches.

3. Le voisin de Madame Rivière dispose d'un billet de $10$ €. Quelle masse de pêches peut-il acheter exactement avec ce billet ?

Voici la recette du gâteau au yaourt de la grand-mère de Tom, prévue pour $4$ personnes :

Les quantités d'ingrédients sont proportionnelles au nombre de personnes.

1. Donner les quantités nécessaires pour $2$ personnes. Expliquer comment on les obtient à partir de la recette.

2. Donner les quantités nécessaires pour $8$ personnes. Expliquer comment on les obtient.

3. Tom reçoit $6$ personnes dimanche. En utilisant les réponses des questions précédentes, donner les quantités nécessaires pour $6$ personnes et expliquer le raisonnement.

Résoudre chacun des deux problèmes suivants en utilisant le retour à l'unité : calculer d'abord le prix d'UN objet (ou d'UN mètre), puis en déduire le prix demandé.

1. À la librairie, $7$ cahiers identiques coûtent $\mathrm{10,50}$ €. Calculer le prix de $11$ de ces cahiers.

2. Dans un magasin de tissus, $5$ mètres d'un même tissu coûtent $12$ €. Calculer le prix de $3$ mètres de ce tissu.

Résoudre chacun des trois problèmes suivants. Pour chacun, choisir la méthode qui semble la plus rapide (passage au double, addition de deux quantités connues, coefficient de proportionnalité, retour à l'unité…) et expliquer en une phrase pourquoi cette méthode a été choisie.

1. À la boulangerie, $6$ croissants coûtent $\mathrm{5,40}$ €. Calculer le prix de $12$ croissants.

2. À la fête foraine, $5$ tickets de manège coûtent $11$ € et $2$ tickets coûtent $\mathrm{4,40}$ €. Calculer le prix de $7$ tickets.

3. À la station-service, un litre d'essence coûte $\mathrm{1,80}$ €. Calculer le prix de $25$ litres d'essence.

1. Calculer mentalement chacune des quantités suivantes.

   a. $50\mathrm{\%}$ de $84$ €

   b. $25\mathrm{\%}$ de $60$ élèves

   c. $10\mathrm{\%}$ de $350$ g

   d. $1\mathrm{\%}$ de $400$ m

   e. $75\mathrm{\%}$ de $44$ min

   f. $50\mathrm{\%}$ de $130$ km

   g. $10\mathrm{\%}$ de $72$ €

   h. $25\mathrm{\%}$ de $32$ €

2. Quel raccourci de calcul mental peut-on utiliser pour prendre $50\mathrm{\%}$ d'une quantité ? Et pour prendre $25\mathrm{\%}$ ?

Dans une classe de $25$ élèves, on organise l'élection des délégués. Chaque élève vote pour un seul candidat. Voici les résultats du dépouillement.

1. Calculer le pourcentage de voix obtenu par chaque candidat.

2. Vérifier que le total de ces quatre pourcentages est bien égal à $100\mathrm{\%}$. Expliquer pourquoi ce résultat était prévisible.

C'est le premier jour des soldes et Zoé fait les magasins.

1. Un blouson coûte $40$ €. Il est soldé avec une remise de $30\mathrm{\%}$.

   a. Calculer le montant de la remise.

   b. En déduire le prix payé en caisse.

2. Un jeu vidéo coûte $35$ €. Il est soldé avec une remise de $20\mathrm{\%}$.

   Calculer le montant de la remise, puis le prix payé.

3. Zoé affirme : « Une remise de $30\mathrm{\%}$ sur $40$ € et une remise de $20\mathrm{\%}$ sur $35$ €, ça donne exactement le même prix final ! » A-t-elle raison ? Justifier.

1. Pour chaque situation, écrire une formule qui exprime la première grandeur en fonction de la seconde.

   a. Le périmètre $P$ d'un carré de côté $c$.

   b. Le prix $p$ de $n$ baguettes à $\mathrm{1,20}$ € l'une.

   c. Le prix $P$ d'une location de vélo : $2$ € pour le casque, plus $3$ € par heure de location $h$.

   d. L'âge $A$ d'Inès dans $x$ années, sachant qu'elle a $12$ ans aujourd'hui.

2. Parmi ces quatre situations, lesquelles sont des situations de proportionnalité ? Justifier.

Le loueur de vélos de l'exercice précédent affiche toujours son tarif : le prix $P$ (en euros) d'une location de $h$ heures est donné par la formule $P=3\times h+2$.

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

   Durée $h$ (en heures)	$1$	$2$	$3$	$5$	$10$
   Prix $P$ (en euros)	…	…	…	…	…

2. Le prix est-il proportionnel à la durée de location ? Justifier en comparant deux quotients.

3. À la boulangerie voisine, le prix $p$ (en euros) de $n$ baguettes est donné par la formule $p=\mathrm{1,20}\times n$.

   a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

   Nombre de baguettes $n$	$1$	$2$	$5$	$10$
   Prix $p$ (en euros)	…	…	…	…

   b. Le prix est-il proportionnel au nombre de baguettes ? Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.

Malo remplit son nouvel aquarium au robinet. La courbe ci-dessous donne la hauteur d'eau dans l'aquarium (en cm) en fonction du temps écoulé (en min).

1. Quelle est la hauteur d'eau au bout de $5$ min ?

2. Au bout de combien de temps l'eau atteint-elle $10$ cm ?

3. Malo arrête le robinet au bout de $10$ min. Quelle est alors la hauteur d'eau dans l'aquarium ?

4. La hauteur d'eau est-elle proportionnelle au temps écoulé ? Justifier.

Voici trois graphiques. Chacun représente une série de points obtenus à partir d'un tableau de valeurs.

1. Pour chacun des trois graphiques, dire s'il représente une situation de proportionnalité. Justifier chaque réponse à l'aide du critère graphique.

2. Pour le graphique qui représente une situation de proportionnalité, donner le coefficient de proportionnalité.

Pour préparer une randonnée, Jade étudie une carte de la région. La légende indique : « $1$ cm sur la carte représente $250$ m sur le terrain ».

1. Sur la carte, le sentier du lac mesure $4$ cm. Quelle distance réelle représente-t-il ? Donner le résultat en mètres, puis en kilomètres.

2. Le chemin des crêtes mesure $\mathrm{6,4}$ cm sur la carte. Quelle est sa longueur réelle ?

3. Le refuge se trouve à $2$ km du parking. Quelle distance sépare le refuge du parking sur la carte ?

4. Recopier et compléter le tableau de proportionnalité récapitulatif.

   Distance sur la carte (en cm)	$1$	$4$	$\mathrm{6,4}$	…
   Distance réelle (en m)	$250$	…	…	$2000$

La piscine municipale propose deux tarifs :

• Tarif A : $5$ € par séance ;
• Tarif B : une carte d'abonnement à $20$ € (payée une seule fois), puis $3$ € par séance.

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

   Nombre de séances	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$
   Prix avec le tarif A (en euros)	…	…	…	…	…	…	…
   Prix avec le tarif B (en euros)	…	…	…	…	…	…	…

2. Exprimer le prix payé avec chaque tarif en fonction du nombre $n$ de séances.

3. Le graphique ci-dessous représente le prix payé avec chacun des deux tarifs en fonction du nombre de séances.

   

   Lequel des deux tarifs correspond à une situation de proportionnalité ? Justifier à l'aide du graphique.

4. a. Pour combien de séances les deux tarifs coûtent-ils exactement le même prix ?

   b. Nolan compte aller à la piscine $15$ fois cette année. Quel tarif a-t-il intérêt à choisir ? Justifier par un calcul.