Exercices — Parallélogrammes

On considère le parallélogramme $MNPQ$ ci-dessous. Ses diagonales sont tracées en pointillés et se coupent au point $I$.

a. Nommer le côté opposé au côté $[MN]$, puis le côté opposé au côté $[NP]$.

b. Citer deux sommets opposés, puis deux sommets consécutifs.

c. Nommer les deux diagonales de ce parallélogramme.

d. Que représente le point $I$ pour le segment $[MP]$ ? Que représente-t-il pour le parallélogramme $MNPQ$ ?

Quatre quadrilatères, numérotés de $1$ à $4$, sont tracés sur le quadrillage ci-dessous.

Pour chaque quadrilatère, dire s'il s'agit d'un parallélogramme. Justifier chaque réponse à l'aide du quadrillage.

Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

a. « Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles est toujours un parallélogramme. »

b. « Dans un parallélogramme, les diagonales ont toujours la même longueur. »

c. « Un losange est toujours un parallélogramme. »

d. « Dans le parallélogramme $ABCD$, les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont opposés. »

e. « Si $O$ est le centre du parallélogramme $ABCD$, alors $O$ est le milieu de $[AB]$. »

Trois points $R$, $S$ et $T$ sont placés sur le quadrillage ci-dessous.

a. Reproduire la figure, puis construire le point $U$ tel que $RSTU$ soit un parallélogramme.

b. Expliquer la méthode utilisée.

On veut construire en vraie grandeur un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB=6$ cm, $AD=4$ cm et $BD=7$ cm.

a. Construire le triangle $ABD$ à la règle et au compas.

b. Terminer la construction du parallélogramme $ABCD$ en utilisant uniquement le compas et la règle. Expliquer quelle propriété du parallélogramme garantit cette construction.

a. Construire un parallélogramme $EFGH$ dont les diagonales mesurent $EG=8$ cm et $FH=6$ cm.

b. Quelle propriété caractéristique justifie que le quadrilatère $EFGH$ obtenu est bien un parallélogramme ?

c. Tous les élèves de la classe obtiennent-ils le même parallélogramme ? Expliquer.

a. $ABCD$ est un parallélogramme tel que $AB=7$ cm et $BC=\mathrm{4,5}$ cm. Donner, en justifiant, les longueurs $CD$ et $AD$, puis calculer le périmètre de $ABCD$.

b. Un parallélogramme a un périmètre de $26$ cm et l'un de ses côtés mesure $8$ cm. Calculer la longueur des trois autres côtés.

On considère le parallélogramme $ABCD$ ci-dessous, dans lequel $\widehat{DAB}={65}^{\circ }$.

a. Donner, en justifiant, la mesure de l'angle $\widehat{BCD}$.

b. Justifier que $\widehat{ABC}={115}^{\circ }$, puis donner la mesure de $\widehat{ADC}$.

c. Vérifier que la somme des quatre angles de ce parallélogramme vaut ${360}^{\circ }$.

On considère un parallélogramme $EFGH$ de centre $O$, tel que $EG=\mathrm{9,6}$ cm et $FH=\mathrm{6,4}$ cm.

a. Que peut-on dire du point $O$ pour chacune des diagonales $[EG]$ et $[FH]$ ? Citer la propriété du cours utilisée.

b. En déduire les longueurs $OE$ et $OF$.

c. Ces informations permettent-elles de connaître la longueur $EF$ ? Expliquer.

On considère le quadrilatère $KLMN$ ci-dessous. Ses diagonales $[KM]$ et $[LN]$ sont sécantes au point $S$. Les codages de la figure indiquent que $SK=SM$ et que $SL=SN$.

Démontrer que $KLMN$ est un parallélogramme. Une rédaction complète est attendue : données, propriété du cours citée avec précision, conclusion.

Tracer un triangle $ABC$ quelconque, puis placer un point $O$ à l'extérieur du triangle. Construire les points $A^{\mathrm{\prime }}$ et $B^{\mathrm{\prime }}$, symétriques respectifs de $A$ et $B$ par rapport à $O$.

a. Faire la construction à la règle et au compas.

b. Démontrer que le quadrilatère $AB{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ est un parallélogramme. On pourra commencer par identifier les diagonales de ce quadrilatère.

c. En déduire, sans mesurer, que $AB=A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ et que $(AB)\parallel (A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }})$.

On considère les deux figures ci-dessous : à gauche un rectangle $EFGH$ dont les diagonales se coupent en $O$, à droite un losange $PQRS$ dont les diagonales se coupent en $O^{\mathrm{\prime }}$.

a. Le rectangle $EFGH$ vérifie $EG=\mathrm{8,4}$ cm. Donner la longueur $FH$, puis les longueurs $OE$ et $OF$, en citant à chaque fois la propriété utilisée.

b. Le losange $PQRS$ vérifie $PQ=5$ cm. Donner les longueurs des trois autres côtés.

c. Citer les deux propriétés des diagonales du carré.

On considère un quadrilatère $MNPQ$ dont les diagonales $[MP]$ et $[NQ]$ se coupent en leur milieu $O$ et vérifient $MP=NQ=7$ cm.

a. Démontrer que $MNPQ$ est un parallélogramme.

b. Démontrer que $MNPQ$ est en fait un rectangle.

c. Donner, sans mesurer, les longueurs $OM$ et $ON$.

Une rédaction complète en deux étapes est attendue pour les questions a et b : données, propriété, conclusion.

a. Les parallélogrammes n°1 et n°2 ci-dessous sont tracés sur un quadrillage dont le côté d'un carreau mesure $1$ cm. Leur hauteur est tracée en pointillés. Déterminer l'aire de chacun d'eux.

b. Calculer l'aire d'un parallélogramme dont la base mesure $8$ cm et la hauteur correspondante $\mathrm{5,5}$ cm.

On considère un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB=10$ cm et $BC=6$ cm. La hauteur relative au côté $[AB]$ mesure $\mathrm{4,8}$ cm. La figure n'est pas à l'échelle.

a. Calculer l'aire de $ABCD$.

b. En déduire la hauteur relative au côté $[BC]$.

c. Expliquer pourquoi la hauteur relative au côté $[AB]$ ne peut pas dépasser $6$ cm.

Tracer un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $AB=AC=5$ cm et $BC=6$ cm. Placer le point $I$, milieu de $[BC]$, puis construire le point $D$, symétrique de $A$ par rapport à $I$.

a. Faire la construction en vraie grandeur, à la règle et au compas.

b. Démontrer que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme. On fera attention à l'ordre des sommets pour identifier les diagonales.

c. Démontrer que $ABDC$ est un losange.

d. En déduire que les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.