Exercices — Nombres relatifs

1. Pour chaque situation, écrire le nombre relatif qui lui correspond.

   a. Un matin de janvier, il fait $12$ °C au-dessous de zéro à Moscou.

   b. Le mont Blanc culmine à environ $4806$ m au-dessus du niveau de la mer.

   c. La fosse des Mariannes, le point le plus profond des océans, atteint environ $10935$ m au-dessous du niveau de la mer.

   d. Amel gare sa voiture au troisième sous-sol d'un parking.

   e. Le thermostat du congélateur affiche $18$ °C au-dessous de zéro.

   f. Jules César est né en l'an $100$ avant J.-C.

   g. L'ascenseur s'arrête au cinquième étage.

   h. À midi, le thermomètre de Strasbourg indique exactement $0$ °C.

2. Classer les nombres obtenus à la question 1 en deux catégories : les nombres positifs et les nombres négatifs.

3. Léna affirme : « L'un des nombres de la question 1 ne peut être rangé ni avec les positifs ni avec les négatifs. » A-t-elle raison ? Expliquer.

1. Donner l'opposé de chacun des nombres suivants.

   a. $7$

   b. $-3$

   c. $\mathrm{12,5}$

   d. $-\mathrm{0,8}$

   e. $0$

   f. $-41$

   g. $\mathrm{6,25}$

   h. $-100$

2. Donner la distance à zéro (c'est-à-dire la valeur absolue) de chacun des nombres suivants.

   a. $-9$

   b. $4$

   c. $-\mathrm{2,5}$

   d. $\mathrm{7,1}$

   e. $-\mathrm{0,3}$

   f. $15$

   g. $-15$

   h. $0$

3. Quel nombre a pour opposé $-\mathrm{13,2}$ ?

4. Quels nombres ont pour distance à zéro $\mathrm{4,5}$ ? Attention, il y a plusieurs réponses !

1. Lire l'abscisse de chacun des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ placés sur la droite graduée ci-dessous.

2. Sur la droite graduée ci-dessous, une graduation représente $\mathrm{0,5}$ unité. Lire l'abscisse de chacun des points $M$, $N$, $P$ et $R$.

3. Sur chacune des deux droites, repérer deux points dont les abscisses sont des nombres opposés.

Reproduire la droite graduée ci-dessous, sur laquelle une graduation représente $\mathrm{0,5}$ unité.

1. Placer les points suivants :

   $A(2)$

   $B(-3)$

   $C(\mathrm{1,5})$

   $D(-\mathrm{0,5})$

   $E(-\mathrm{2,5})$

2. Placer ensuite :

   a. le point $F$ dont l'abscisse est l'opposé de celle de $A$ ;

   b. le point $G$ dont l'abscisse est l'opposé de celle de $C$ ;

   c. le point $H$ dont l'abscisse est l'opposé de celle de $E$.

3. Naïm remarque que le milieu du segment $[AF]$ est un point très particulier de la droite graduée. Lequel ? Vérifier que c'est aussi le cas pour les segments $[CG]$ et $[EH]$, puis expliquer pourquoi cela se produit à chaque fois qu'on relie un point au point d'abscisse opposée.

Recopier chaque ligne et la compléter par le symbole $<$ ou $>$ qui convient.

1. Le tableau ci-dessous donne des températures moyennes relevées en janvier dans huit villes du monde.

   Ville	Oulan-Bator	Montréal	Nuuk	Moscou	Oslo	Helsinki	Paris	Séville
   Température (°C)	$-21$	$-\mathrm{9,5}$	$-\mathrm{8,5}$	$-6$	$-4$	$-\mathrm{3,5}$	$5$	$11$

   Ranger ces températures dans l'ordre croissant, c'est-à-dire de la ville la plus froide à la ville la plus chaude.

2. Ranger les nombres suivants dans l'ordre décroissant :

   $$\mathrm{7,4};-\mathrm{7,4};0;-\mathrm{0,45};-12;\mathrm{3,08};-\mathrm{0,5};-\mathrm{7,04}$$

3. Donner un nombre compris entre $-\mathrm{0,5}$ et $-\mathrm{0,45}$.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, expliquer pourquoi ; si elle est fausse, donner un contre-exemple ou corriger l'erreur.

1. Zéro est un nombre négatif.
2. L'opposé d'un nombre est toujours négatif.
3. On a $-7<-5$ car $7<5$.
4. Tout nombre strictement négatif est plus petit que tout nombre strictement positif.
5. Deux nombres opposés ont la même valeur absolue.
6. On a $-\mathrm{8,3}>-\mathrm{8,13}$.
7. Si un nombre est plus grand qu'un autre, alors son opposé est plus petit que l'opposé de l'autre.

1. Calculer les sommes suivantes.

   a. $(+5)+(+9)$

   b. $(-4)+(-7)$

   c. $(+8)+(-3)$

   d. $(-9)+(+2)$

   e. $(+6)+(-6)$

   f. $(-12)+(+20)$

   g. $(-\mathrm{2,5})+(-\mathrm{3,5})$

   h. $(+\mathrm{7,2})+(-\mathrm{4,8})$

   i. $(-\mathrm{5,5})+(+\mathrm{1,3})$

   j. $(-\mathrm{0,8})+(+\mathrm{0,8})$

   k. $(+\mathrm{3,4})+(-9)$

   l. $(-\mathrm{6,25})+(-\mathrm{1,75})$

2. Léo joue à un jeu de société en deux manches : il perd $8$ points à la première, puis en gagne $15$ à la seconde. Écrire son bilan sous la forme d'une addition de deux nombres relatifs, puis le calculer.

3. Au lever du jour à Chamonix, le thermomètre indique $-\mathrm{6,5}$ °C. Dans la matinée, la température monte de $9$ °C. Écrire la température de la fin de matinée sous la forme d'une addition de deux nombres relatifs, puis la calculer.

1. Calculer chaque somme en regroupant astucieusement les termes : repérer d'abord les opposés qui s'annulent, puis regrouper les termes positifs ensemble et les termes négatifs ensemble.

   a. $(+7)+(-3)+(+3)+(-5)$

   b. $(-8)+(+15)+(-2)+(+5)$

   c. $(+12)+(-7)+(-12)+(+4)+(-4)$

   d. $(-\mathrm{2,5})+(+6)+(-\mathrm{1,5})+(+4)$

   e. $(+\mathrm{3,7})+(-5)+(+\mathrm{6,3})+(-5)$

   f. $(-9)+(+4)+(-11)+(+16)+(-6)+(+1)$

2. Expliquer en une phrase pourquoi regrouper les termes rend le calcul plus simple que de tout calculer de gauche à droite.

1. Transformer chaque soustraction en addition de l'opposé, puis calculer.

   a. $(+5)-(+9)$

   b. $(-3)-(+7)$

   c. $(+8)-(-4)$

   d. $(-6)-(-10)$

   e. $(-7)-(-7)$

   f. $(+\mathrm{2,5})-(+6)$

   g. $(-\mathrm{1,8})-(-\mathrm{0,8})$

   h. $0-(-13)$

   i. $(-\mathrm{4,5})-(+\mathrm{2,5})$

   j. $(+11)-(+20)$

   k. $(-15)-(-6)$

   l. $(+\mathrm{3,2})-(-\mathrm{1,8})$

2. Ce matin, le thermomètre affichait $-4$ °C. Cet après-midi, il affiche $+7$ °C. De combien de degrés la température a-t-elle augmenté ? Écrire le calcul sous la forme d'une soustraction de deux nombres relatifs.

3. Dans un immeuble, l'ascenseur part du niveau $-2$ (deuxième sous-sol du parking) et monte directement jusqu'au niveau $+5$. Combien d'étages a-t-il montés ? Écrire le calcul sous la forme d'une soustraction de deux nombres relatifs.

1. Simplifier l'écriture de chaque expression (supprimer les parenthèses et les signes inutiles), puis calculer.

   a. $(+5)+(-3)$

   b. $(-4)-(-7)$

   c. $(-6)+(-9)$

   d. $(+8)-(+12)$

   e. $(-\mathrm{2,5})+(+7)$

   f. $(+10)-(-\mathrm{3,5})$

   g. $(-1)-(+8)+(-5)$

   h. $(+4)+(-6)-(-11)$

2. Répondre en une ou deux phrases.

   a. Dans l'écriture $9-(-5)$, pourquoi les parenthèses autour de $-5$ sont-elles indispensables ?

   b. Dans l'écriture $(-3)+(-8)$, pourquoi ne peut-on pas se contenter de supprimer les parenthèses autour de $-8$ sans rien changer d'autre ?

3. Faire le travail inverse : réécrire l'expression simplifiée $-7+12-\mathrm{5,5}$ avec toutes ses parenthèses et tous ses signes, puis la calculer.

1. Calculer chaque expression. Méthode conseillée : transformer d'abord toute l'expression en une somme en écriture simplifiée, puis regrouper astucieusement les termes positifs et les termes négatifs.

   a. $5-9+4-7$

   b. $-3+(-8)-(-12)+6$

   c. $-\mathrm{4,5}+7-\mathrm{2,5}+4$

   d. $10-(+13)+(-5)-(-8)$

   e. $-1-2-3+4+5-6$

   f. $\mathrm{2,4}-(-\mathrm{3,6})+(-10)-4+6$

2. Voici un programme de calcul :

   • partir de $-8$ ;
   • ajouter $15$ ;
   • soustraire $-6$ ;
   • soustraire $20$ ;
   • ajouter $\mathrm{4,5}$.

   Traduire ce programme en une seule expression, puis la calculer.

Le tableau ci-dessous donne, pour cinq lieux connus pour leur climat extrême (ou non !), la température minimale et la température maximale relevées au cours d'une même année.

L'amplitude thermique d'un lieu est l'écart entre sa température maximale et sa température minimale.

1. Calculer l'amplitude thermique de chaque lieu. Écrire chaque calcul sous la forme d'une soustraction de deux nombres relatifs.
2. Ranger les cinq lieux de la plus petite à la plus grande amplitude. Quel lieu a connu l'écart de température le plus grand cette année-là ?
3. Dans une station météo du Groenland, l'amplitude thermique de l'année a été de $58$ °C et la température maximale de $+13$ °C. Quelle a été la température minimale ?

Partie A — Sous la mer. Les altitudes sont repérées par rapport au niveau de la mer (niveau $0$) : au-dessus, elles sont positives ; en dessous, elles sont négatives.

1. Un plongeur se trouve à l'altitude $-12$ m et un drone sous-marin à l'altitude $-38$ m. Lequel des deux est le plus profond ? Calculer l'écart vertical qui les sépare.
2. Le drone effectue ensuite trois déplacements verticaux depuis l'altitude $-38$ m : il remonte de $17$ m, redescend de $25$ m, puis remonte de $40$ m. Écrire sa position finale sous la forme d'une somme de nombres relatifs, puis la calculer.
3. Le sommet de l'Everest est à l'altitude $+8849$ m ; le point le plus profond de la fosse des Mariannes est à l'altitude $-10935$ m environ. Quel est l'écart vertical entre ces deux points ?

Partie B — Personnages de l'Antiquité. On repère les années par rapport à l'an $0$ : Jules César est né en $-100$ et mort en $-44$ ; Cléopâtre est née en $-69$ et morte en $-30$ ; Auguste est né en $-63$ et mort en $+14$.

1. Ranger les trois années de naissance dans l'ordre chronologique. Qui est né en premier ?
2. Calculer la durée de vie de chacun des trois personnages. Qui a vécu le plus longtemps ?
3. Quel âge avait Auguste à la mort de Cléopâtre ?
4. Combien d'années séparent la naissance de Jules César de la mort d'Auguste ?

Partie 1 — La pyramide additive. Dans une pyramide additive, chaque case contient la somme des deux cases situées juste en dessous d'elle. Voici une pyramide à quatre étages, décrite étage par étage (de haut en bas), où « ? » désigne une case à trouver :

• Étage 4 (sommet) : $-11$
• Étage 3 : ? ; ?
• Étage 2 : ? ; $-4$ ; ?
• Étage 1 (base) : $4$ ; ? ; $2$ ; ?

Compléter toutes les cases de la pyramide. Attention : il faudra parfois « redescendre », c'est-à-dire retrouver une case du bas à partir de la case du dessus grâce à une soustraction.

Partie 2 — Le carré magique. Dans un carré magique, toutes les lignes, toutes les colonnes et les deux diagonales ont la même somme, appelée somme magique.

1. Une des deux diagonales est déjà complète : calculer la somme magique de ce carré.
2. Compléter le carré, en trouvant les cases une par une.
3. Vérifier que les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales ont bien toutes la même somme.