Exercices — Calcul littéral et équations

1. On note $n$ un nombre quelconque. Écris une expression en fonction de $n$ pour chacune des phrases suivantes.

   a. Le double de $n$.

   b. Le triple de $n$.

   c. La moitié de $n$.

   d. Le quart de $n$.

   e. Le successeur de $n$ (le nombre entier qui vient juste après $n$).

   f. Le prédécesseur de $n$ (le nombre entier qui vient juste avant $n$).

   g. Le carré de $n$.

   h. La somme de $n$ et de $10$.

2. Léa possède $n$ billes et Tom en possède le triple.

   Écris, en fonction de $n$, le nombre de billes de Tom, puis le nombre total de billes des deux enfants.

3. Marc a $x$ ans. Sa sœur Chloé a $4$ ans de plus que lui.

   Écris, en fonction de $x$, l'âge de Chloé aujourd'hui, puis l'âge qu'aura Marc dans $10$ ans.

1. Simplifie chaque expression en supprimant les signes $\times$ inutiles. Rappel : le nombre s'écrit toujours devant la lettre.

   a. $3\times x$

   b. $x\times 7$

   c. $x\times x$

   d. $5\times (a+2)$

   e. $a\times b$

   f. $1\times x$

   g. $2\times x\times y$

   h. $(b+4)\times 6$

   i. $x\times x\times x$

2. Réécris chaque expression en faisant réapparaître tous les signes $\times$ cachés.

   a. $4x$

   b. $x^2$

   c. $3(x+1)$

   d. $7ab$

1. Calcule la valeur de chaque expression pour $x=3$, puis pour $x=\mathrm{2,5}$. Attention : on ne cherche pas à résoudre quoi que ce soit, on remplace simplement $x$ par la valeur donnée.

   a. $4x$

   b. $x+12$

   c. $5x+1$

   d. $x^2$

   e. $2x+7$

   f. $6x-4$

2. Calcule la valeur de $10-2x$ pour $x=3$.

Développe chaque expression grâce à la distributivité : $k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb$.

1. On considère un carré de côté $c$.

   Écris la formule donnant son périmètre $P$, puis celle donnant son aire $A$, en fonction de $c$.

2. On considère un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$.

   Écris la formule donnant son périmètre de deux façons différentes : d'abord sous la forme d'une somme, puis sous la forme d'un produit. Écris ensuite la formule donnant son aire.

3. On accole trois carrés identiques de côté $c$ pour former une figure en ligne, comme sur le dessin ci-dessous.

   

   a. Justifie que la figure obtenue est un rectangle, puis écris la formule donnant son périmètre en fonction de $c$. Réduis l'expression obtenue.

   b. Écris la formule donnant l'aire de cette figure en fonction de $c$.

   c. Calcule le périmètre et l'aire de la figure pour $c=\mathrm{2,5}$ cm.

1. Pour chacune des expressions suivantes, indique s'il s'agit d'une somme (ou d'une différence) ou d'un produit. Rappel : c'est la dernière opération que l'on effectuerait qui donne son nom à l'expression.

   a. $3x+2$

   b. $5(x+4)$

   c. $7x$

   d. $x^2$

   e. $4x-1$

   f. $2(a-3)$

   g. $x+x^2$

   h. $ab$

2. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie ta réponse.

   a. Jules affirme : « $5(x+4)$ est une somme, car il y a un signe $+$ dans l'expression. »

   b. Inès affirme : « $3x+2$ est une somme. »

   c. Sami affirme : « $4x-1$ est un produit, car l'expression contient la multiplication $4\times x$. »

Un loueur de vélos affiche le tarif suivant : « $3$ € par heure de location, plus $2$ € de frais fixes pour le casque et l'antivol ».

Le prix $P$ (en euros) d'une location de $h$ heures est donné par la formule :

1. Explique pourquoi cette formule correspond bien au tarif affiché. Que représente le terme $3h$ ? Et le terme $2$ ?

2. Recopie et complète le tableau de valeurs suivant en calculant le prix pour chaque durée.

   Durée $h$ (en heures)	$2$	$4$	$\mathrm{5,5}$
   Prix $P$ (en euros)

3. Zoé a payé $17$ € pour sa location. Pendant combien d'heures a-t-elle loué son vélo ? Explique ton raisonnement.

1. Pour chaque expression, trouve le facteur commun aux deux termes, puis factorise-la à l'aide de l'égalité $ka+kb=k(a+b)$ ou $ka-kb=k(a-b)$.

   a. $3x+12$

   b. $5a+35$

   c. $7t-14$

   d. $6x+9$

   e. $10-5b$

   f. $4x+4$

   g. $8y+20$

   h. $9m-9$

2. Malo affirme : « $8x+6=2(4x+3)$ ». A-t-il raison ? Vérifie son affirmation en développant l'expression $2(4x+3)$.

1. Réduis chaque expression, c'est-à-dire écris-la avec un seul terme en $x$ (ou en $a$, $t$, $y$…).

   a. $3x+5x$

   b. $9a-4a$

   c. $x+x$

   d. $7t+t$

   e. $\mathrm{2,5}y+\mathrm{1,5}y$

   f. $5x+2x+x$

   g. $12b-7b$

   h. $\mathrm{0,5}m+\mathrm{0,5}m$

2. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse. En cas d'affirmation fausse, donne un contre-exemple en testant la valeur $x=3$.

   a. « Pour tout nombre $x$, on a $3x+5x=8x^2$. »

   b. « Pour tout nombre $x$, on a $x+x=x^2$. »

1. Calcule mentalement chaque produit en développant, comme dans l'exemple : $8\times 103=8\times (100+3)=8\times 100+8\times 3=800+24=824$. Écris à chaque fois ta décomposition.

   a. $8\times 103$

   b. $25\times 102$

   c. $6\times 98$

   d. $12\times 999$

   e. $7\times 1002$

   f. $30\times \mathrm{4,9}$

2. Calcule astucieusement chaque expression en factorisant, c'est-à-dire en repérant le facteur commun.

   a. $17\times 23+17\times 77$

   b. $45\times 12-35\times 12$

   c. $9\times 54+9\times 46$

   d. $128\times 11-28\times 11$

1. Complète chaque opération à trous en remplaçant $\mathrm{\square }$ par le nombre qui convient.

   a. $7\times \mathrm{\square }=91$

   b. $\mathrm{\square }+19=45$

   c. $\mathrm{\square }\times 8=96$

   d. $24+\mathrm{\square }=60$

2. Résous chaque équation par une opération inverse (division ou soustraction), puis vérifie ta solution en remplaçant $x$ par la valeur trouvée.

   a. $5x=85$

   b. $x+13=41$

   c. $9x=\mathrm{6,3}$

   d. $x+\mathrm{2,7}=10$

   e. $4x=30$

   f. $x+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$

3. Parmi les nombres $4$ ; $5$ ; $6$, lequel est solution de l'équation $8x=40$ ? Teste chaque valeur pour répondre.

1. On considère l'égalité $3(x+2)=3x+2$.

   Cette égalité est-elle vraie pour $x=5$ ? Pour $x=0$ ?

   Pour chaque valeur, calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite avant de conclure.

2. Que peut-on en conclure au sujet de l'égalité $3(x+2)=3x+2$ ? Combien de valeurs suffit-il de trouver pour démontrer qu'une égalité n'est pas vraie pour tous les nombres ?

3. On considère maintenant l'égalité $4(x+3)=4x+12$.

   Cette égalité est-elle vraie pour $x=1$ ? Pour $x=\mathrm{2,5}$ ?

   Ces deux tests suffisent-ils pour affirmer que l'égalité est vraie pour TOUTES les valeurs de $x$ ? Démontre qu'elle l'est en développant le membre de gauche.

4. Lucas affirme : « pour tout nombre $x$, on a $x^2=2x$ ». Il a vérifié avec $x=2$ : ça marche !

   Trouve un contre-exemple qui démontre que l'affirmation de Lucas est fausse.

Pour chacun des trois problèmes suivants, rédige ta solution en respectant les cinq étapes : choix de l'inconnue (une phrase du type « je note $x$ … »), mise en équation, résolution par une opération inverse, vérification, phrase de conclusion.

1. Un pack de $6$ bouteilles d'eau identiques coûte $\mathrm{8,70}$ €.

   Quel est le prix d'une bouteille ?

2. Pendant la récréation, Jules a gagné $27$ billes. Il en possède maintenant $92$.

   Combien de billes avait-il avant la récréation ?

3. Un rectangle a une aire de $51{\text{ cm}}^2$ et une longueur de $\mathrm{8,5}$ cm.

   Quelle est sa largeur ?

On construit une suite de motifs avec des allumettes : à chaque étape, on ajoute un carré à la ligne.

À l'étape 1, il y a $1$ carré ($4$ allumettes) ; à l'étape 2, $2$ carrés accolés ($7$ allumettes) ; à l'étape 3, $3$ carrés ($10$ allumettes).

1. Sans les dessiner, détermine le nombre d'allumettes nécessaires à l'étape 4, puis à l'étape 5. Explique comment tu fais.

2. Explique pourquoi le nombre d'allumettes à l'étape $n$ est donné par la formule $3n+1$.

   Aide : observe la structure du motif : une allumette verticale de départ, puis chaque carré est complété par $3$ allumettes.

   Maëlle propose plutôt la formule $4+3(n-1)$ : « le premier carré complet, puis $3$ allumettes par carré supplémentaire ». A-t-elle raison ? Développe son expression pour vérifier qu'elle est égale à $3n+1$.

3. Calcule le nombre d'allumettes nécessaires à l'étape 50, puis à l'étape 100.

4. Peut-on construire une étape de cette suite avec exactement $100$ allumettes ? Si oui, laquelle ? Justifie par un raisonnement.

On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A : choisis un nombre ; ajoute $2$ ; multiplie le résultat par $5$.

Programme B : choisis un nombre ; multiplie-le par $5$ ; ajoute $10$.

1. Applique les deux programmes au nombre $4$, puis au nombre $\mathrm{7,2}$. Présente tes résultats dans un tableau :

   Nombre choisi	Résultat du programme A	Résultat du programme B
   $4$
   $\mathrm{7,2}$

2. Quelle conjecture peux-tu formuler ? Comment pourrait-on la tester rapidement sur un grand nombre de valeurs à l'aide d'un tableur ?

3. Démontre ta conjecture à l'aide du calcul littéral : note $x$ le nombre choisi, écris l'expression obtenue avec chaque programme, puis développe.

4. Quel nombre faut-il choisir pour que le programme B donne $75$ ?

   Aide : on peut « remonter » le programme B étape par étape, en effectuant les opérations inverses dans l'ordre contraire.

Maël le magicien annonce à ses camarades :

« Choisis un nombre. Ajoute-lui $4$. Multiplie le résultat par $5$. Retire $20$. Donne-moi ton résultat : je devine ton nombre ! »

1. Teste le tour de magie avec le nombre $3$, puis avec le nombre $10$. Que remarques-tu en comparant le résultat obtenu et le nombre choisi ?

2. Démontre, à l'aide du calcul littéral, que la remarque de la question 1 est vraie pour n'importe quel nombre choisi $x$.

3. Inès a joué au tour de magie et annonce le résultat $85$. Traduis la situation par une équation, résous-la par une opération inverse, puis vérifie en refaisant tout le programme de Maël avec le nombre trouvé.

4. Question ouverte. Invente à ton tour un tour de magie du même type (ajouter, multiplier, retirer), mais dont le résultat est toujours le TRIPLE du nombre choisi. Justifie ton tour à l'aide du calcul littéral.