Devoir surveillé — Information chiffrée : proportions et évolutions

Une cité scolaire regroupe un collège et un lycée. Elle accueille $1600$ élèves au total, et les lycéens représentent $35\mathrm{\%}$ de cet effectif.

1. Calculer le nombre de lycéens, puis le nombre de collégiens de la cité scolaire.

2. Parmi les lycéens, $20\mathrm{\%}$ sont internes.

   a. Quelle est la proportion de lycéens internes parmi les élèves de la cité scolaire ? Exprimer le résultat en pourcentage.

   b. En déduire le nombre de lycéens internes.

3. La chorale de la cité scolaire compte $36$ collégiens, qui représentent $45\mathrm{\%}$ de ses membres. Combien la chorale compte-t-elle de membres en tout ?

4. Parmi les élèves qui viennent à vélo, on compte $260$ collégiens et $154$ lycéens. Le journal de la cité scolaire titre : « les collégiens utilisent davantage le vélo que les lycéens ». En comparant la proportion de cyclistes parmi les collégiens et parmi les lycéens, dire si ce titre est justifié.

1. Sans poser d'opération, donner le coefficient multiplicateur associé à chaque évolution :

   a. une hausse de $25\mathrm{\%}$

   b. une baisse de $8\mathrm{\%}$

   c. une baisse de $\mathrm{0,5}\mathrm{\%}$

   d. une hausse de $100\mathrm{\%}$

   Puis, pour chaque coefficient multiplicateur, indiquer s'il traduit une hausse ou une baisse et donner le taux d'évolution correspondant, en pourcentage :

   e. $c=\mathrm{1,04}$

   f. $c=\mathrm{0,7}$

   g. $c=2$

   h. $c=\mathrm{0,5}$

2. Répondre aux trois questions suivantes en détaillant les calculs.

   a. Un jeu vidéo coûte $60$ €. Son prix augmente de $15\mathrm{\%}$. Quel est son nouveau prix ?

   b. Après une baisse de $20\mathrm{\%}$, un manteau coûte $96$ €. Quel était son prix avant la baisse ?

   c. La population d'un village est passée de $1250$ à $1450$ habitants. Calculer le taux d'évolution de cette population, exprimé en pourcentage.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée par un calcul.

a. Dans un pays, le taux de chômage passe de $12\mathrm{\%}$ à $15\mathrm{\%}$ en un an. Affirmation : « le taux de chômage a augmenté de $3\mathrm{\%}$ ».

b. Le prix d'un billet d'avion augmente de $20\mathrm{\%}$, puis de $30\mathrm{\%}$ l'année suivante. Affirmation : « au total, le prix a augmenté de $50\mathrm{\%}$ ».

c. Affirmation : « pour annuler une baisse de $25\mathrm{\%}$, il suffit d'appliquer une hausse de $25\mathrm{\%}$ ».

d. Le nombre d'abonnés d'une chaîne de vidéos a doublé en un an. Affirmation : « le nombre d'abonnés a augmenté de $100\mathrm{\%}$ ».

À la suite de tensions sur le marché du pétrole, le prix du litre de carburant relevé dans une station-service a évolué comme suit :

1. Calculer le taux d'évolution du prix du litre entre le 1er mars et le 1er avril, puis entre le 1er avril et le 1er mai. Exprimer chaque taux en pourcentage.
2. À l'aide d'un produit de coefficients multiplicateurs, déterminer le taux d'évolution global du prix entre le 1er mars et le 1er mai. Vérifier le résultat par un calcul direct à partir des prix.
3. À partir du 1er mai, quelle évolution faudrait-il appliquer au prix du litre pour revenir au prix du 1er mars ? Donner le coefficient multiplicateur sous forme de fraction, puis le taux d'évolution correspondant arrondi à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$ près.
4. La compagnie pétrolière annonce : « sur les deux mois, la hausse totale du prix est de $\mathrm{12,5}+10=\mathrm{22,5}\mathrm{\%}$ ». Expliquer, calcul à l'appui, pourquoi cette annonce est fausse, et donner l'écart, en points de pourcentage, entre le taux annoncé et le taux réel.

Un commerçant hésite entre deux stratégies : appliquer à ses prix deux hausses successives de $10\mathrm{\%}$, ou bien une hausse unique de $20\mathrm{\%}$.

1. Calculer le coefficient multiplicateur global associé à chacune des deux stratégies. Laquelle est la plus avantageuse pour le commerçant ?
2. Dans cette question, $x$ désigne un taux d'évolution strictement positif écrit sous forme décimale (par exemple $x=\mathrm{0,10}$ pour une hausse de $10\mathrm{\%}$). Développer $(1+x{)}^2$, puis montrer que $(1+x{)}^2>1+2x$. Que peut-on en conclure pour un commerçant qui hésite entre deux hausses successives de taux $x$ et une hausse unique de taux $2x$ ?
3. On prend $x=\mathrm{0,5}$. De combien de points de pourcentage le taux d'évolution global des deux hausses successives dépasse-t-il celui de la hausse unique ?