Exercices — Analyse asymptotique

Pour chacun des huit couples de suites ci-dessous, dire lesquelles des trois relations

sont vraies quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Dans chaque cas, la suite $(v_n)$ ne s'annule pas à partir du rang indiqué : on justifiera donc systématiquement la réponse par l'étude du quotient ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}$.

1. Les dix suites suivantes sont définies pour $n⩾2$ et tendent toutes vers $+\mathrm{\infty }$. Les ranger par ordre de négligeabilité croissante, c'est-à-dire dans un ordre tel que chacune soit négligeable devant la suivante. On justifiera chacune des neuf comparaisons obtenues.

   a. $n{2}^n$

   b. $\sqrt{n}$

   c. $n!$

   d. $n\ln n$

   e. $(\ln n{)}^3$

   f. $3^n$

   g. $n^2$

   h. $2^n$

   i. $e^{\sqrt{n}}$

   j. $n$

2. Déterminer les limites suivantes quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

   a. ${\displaystyle \frac{n^{10}}{2^n}}$

   b. ${\displaystyle \frac{(\ln n{)}^5}{\sqrt{n}}}$

   c. ${\displaystyle \frac{3^n}{n!}}$

   d. ${\displaystyle \frac{n!}{n^n}}$

1. Donner un équivalent simple, quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, de chacune des suites suivantes. On entend par « simple » une expression du type $C{n}^{\alpha }$, $C{q}^n$, ou une constante non nulle.

   a. $\sqrt{n^2+n}-n$

   b. ${\displaystyle \frac{3n^2-n+1}{2n^2+5}}$

   c. $\sin \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$

   d. $\ln (1+{\displaystyle \frac{2}{n}})$

   e. $e^{1\mathrm{/}n}-1$

   f. $1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$

   g. ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{1\mathrm{/}3}-1$

   h. $n^2+2^n$

2. En déduire la limite de chacune des quatre suites suivantes.

   a. $n\sin \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$

   b. ${\displaystyle \frac{\ln (1+\frac{2}{n})}{e^{1\mathrm{/}n}-1}}$

   c. ${\displaystyle \frac{1-\cos \left(\frac{1}{n}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{1}{n}\right)}}$

   d. $(\sqrt{n^2+n}-n)\times {\displaystyle \frac{3n^2-n+1}{2n^2+5}}$

1. Pour chacun des six couples de fonctions ci-dessous, dire lesquelles des trois relations $f=o(g)$, $f=O(g)$ et $f\sim g$ sont vraies au voisinage de $0$. On justifiera par l'étude du quotient ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$, défini pour $x$ voisin de $0$ et non nul.

   a. $f(x)=x^2$ et $g(x)=x$

   b. $f(x)=\sin x$ et $g(x)=x$

   c. $f(x)=1-\cos x$ et $g(x)=x^2$

   d. $f(x)=x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ et $g(x)=x$

   e. $f(x)=e^x-1$ et $g(x)=\ln (1+x)$

   f. $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$

2. Mêmes questions pour les quatre couples suivants, mais cette fois au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.

   a. $f(x)=x^2$ et $g(x)=x$

   b. $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ et $g(x)=x$

   c. $f(x)=x+\sin x$ et $g(x)=x$

   d. $f(x)=2+\sin x$ et $g(x)=1$

3. Expliquer, en s'appuyant sur le couple $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ étudié aux questions 1 et 2, pourquoi l'écriture « $f=o(g)$ » n'a aucun sens tant que l'on n'a pas précisé le point au voisinage duquel on se place.

1. Écrire, sans calcul et de mémoire, le développement limité en $0$ à l'ordre $4$ de chacune des fonctions suivantes.

   a. $e^x$

   b. $\cos x$

   c. $\sin x$

   d. $\ln (1+x)$

   e. ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$

   f. ${\displaystyle \frac{1}{1+x}}$

   g. $\sqrt{1+x}$

   h. $\mathrm{c}\mathrm{h}x$

2. Retrouver, cette fois par la formule de Taylor-Young, c'est-à-dire par le calcul des dérivées successives en $0$, les développements limités à l'ordre $4$ de $\cos x$ et de $\sqrt{1+x}$.

3. Écrire le terme général du développement limité en $0$ à l'ordre $n$ de $e^x$, de $\ln (1+x)$ et de ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$, sous la forme d'une somme ${\displaystyle \sum _k}$ suivie d'un $o\left(x^n\right)$.

Dans tout l'exercice, on s'interdit les opérations sur les développements limités : chaque développement doit être obtenu par la seule formule de Taylor-Young. Pour chacune des quatre fonctions ci-dessous, on demande donc de justifier que la formule s'applique, de dresser le tableau de ses dérivées successives jusqu'à l'ordre voulu, d'évaluer ces dérivées au point considéré, puis d'écrire le développement limité demandé.

Calculer les six développements limités suivants en $0$, à l'ordre indiqué, en utilisant uniquement les développements limités usuels et les opérations de somme et de produit. Dans chaque cas, on précisera à quel ordre chaque facteur a été tronqué, et on justifiera ce choix.

Pour le f., on observera le résultat obtenu et on dira ce qu'il permet de contrôler.

Déterminer les six limites suivantes quand $x$ tend vers $0$. Chacune est une forme indéterminée du type ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ que l'on lèvera à l'aide d'un développement limité du numérateur. On indiquera à chaque fois à quel ordre on a développé, et pourquoi cet ordre-là.

On rappelle que $u_n\sim v_n$ signifie qu'il existe une suite $({\epsilon }_n)$ de limite nulle telle que $u_n=v_n(1+{\epsilon }_n)$ à partir d'un certain rang ; lorsque $v_n$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, cela équivaut à ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\to 1$.

1. On pose $u_n=n+1$, $v_n=n$, $a_n=-n$ et $b_n=-n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$. Vérifier que $u_n\sim v_n$ et que $a_n\sim b_n$, puis comparer $u_n+a_n$ et $v_n+b_n$. Que conclure ?

2. Montrer que $n+\ln n\sim n$, puis que $e^{n+\ln n}$ n'est pas équivalent à $e^n$. Démontrer ensuite l'énoncé correct suivant : si $u_n-v_n\to 0$, alors $e^{u_n}\sim e^{v_n}$.

3. Montrer que $1+{\displaystyle \frac{1}{n}}\sim 1$, puis que $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$ n'est pas équivalent à $\ln 1$. Démontrer l'énoncé correct suivant : si $u_n\sim v_n$, si $v_n>0$ à partir d'un certain rang et si $v_n\to \mathrm{\ell }$ avec $\mathrm{\ell }\in [0,+\mathrm{\infty }]$ et $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }1$, alors $\ln u_n\sim \ln v_n$.

4. À l'aide de ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ et de $1^n$, montrer qu'on ne peut pas élever un équivalent à une puissance qui dépend de $n$.

5. Trouver deux fonctions $f$ et $g$, dérivables et équivalentes en $+\mathrm{\infty }$, dont les dérivées ne sont pas équivalentes en $+\mathrm{\infty }$.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes. On les traitera toutes de la même façon, en écrivant $u_n^{v_n}=e^{v_n\ln u_n}$ et en développant $\ln u_n$ à l'ordre utile.

Dans chaque cas, on précisera à quel ordre le développement de $\ln u_n$ a dû être poussé, et pourquoi.

Déterminer le développement limité en $0$, à l'ordre indiqué, de chacune des fonctions suivantes. On veillera, avant toute composition, à vérifier que l'hypothèse du théorème est satisfaite.

Déterminer le développement limité en $0$, à l'ordre indiqué, de chacune des fonctions suivantes. On précisera à chaque fois la méthode employée : composition avec le développement de ${\displaystyle \frac{1}{1+u}}$, ou division suivant les puissances croissantes.

Pour c. et d., on commencera par préciser en quel sens la fonction admet un développement limité en $0$.

1. Énoncer le théorème de primitivation d'un développement limité, en précisant exactement ses hypothèses.

2. Retrouver, par primitivation du développement limité de leur dérivée, les développements limités en $0$ à l'ordre $5$ de $\ln (1+x)$, de $\mathrm{Arctan}x$ et de $\mathrm{Arcsin}x$.

3. En déduire le développement limité en $0$ à l'ordre $5$ de $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}$, après avoir vérifié que sa dérivée vaut ${\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}$.

4. Expliquer pourquoi on ne peut pas, symétriquement, dériver un développement limité. On étudiera la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour $x\mathrm{\ne }0$ et $f(0)=0$.

Pour chacune des fonctions suivantes, donner l'équation de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse indiquée, puis étudier la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de ce point.

e. Dans le cas général, que peut-on dire lorsque le premier terme non nul du développement après le terme d'ordre $1$ est d'ordre pair ? d'ordre impair ?

Étudier la branche infinie en $+\mathrm{\infty }$ des courbes représentatives des fonctions suivantes : montrer l'existence d'une asymptote oblique, en donner l'équation, et préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote. On utilisera systématiquement le changement de variable $x={\displaystyle \frac{1}{t}}$, avec $t\to 0^{+}$.

Pour a., on fera également l'étude en $-\mathrm{\infty }$.

Déterminer le développement limité à l'ordre $3$ de chacune des fonctions suivantes, au point $a$ indiqué. Dans chaque cas, on énoncera explicitement le changement de variable $x=a+h$ utilisé, et on reviendra à la variable $x$ pour écrire la réponse finale, sous forme de puissances de $x-a$.

On contrôlera à chaque fois que le terme constant obtenu vaut $f(a)$ et que le coefficient de $x-a$ vaut $f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

Déterminer les limites suivantes. Toutes sont des formes indéterminées du type puissance : on les traitera systématiquement en écrivant $u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$, et l'on précisera à chaque fois à quel ordre il est nécessaire de développer $\ln u(x)$.

1. Soit $f$ une fonction définie au voisinage d'un réel $a$, et soit $p⩾2$ un entier. On suppose qu'il existe un réel $c_p\mathrm{\ne }0$ tel que

Montrer que $f$ est dérivable en $a$ avec $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, puis déterminer la nature du point $a$ (maximum local, minimum local, ou ni l'un ni l'autre) en fonction de la parité de $p$ et du signe de $c_p$. Énoncer le critère obtenu.

2. Appliquer ce critère en $0$ à chacune des quatre fonctions suivantes, définies au voisinage de $0$. On vérifiera au préalable que $0$ est bien un point critique, et l'on conclura dans chaque cas : maximum local, minimum local, ou ni l'un ni l'autre.

1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que ${\displaystyle \frac{\sin x-x+a{x}^3}{x^5}}$ admette la limite finie $b$ lorsque $x\to 0$.

2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $\ln (1+x)-{\displaystyle \frac{x(1+ax)}{1+bx}}=o(x^3)$ au voisinage de $0$. Que vaut alors le terme suivant, c'est-à-dire le premier terme non nul du développement de cette différence ?

3. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ tels que $\sqrt{x^2+x+1}-(ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x}})$ tende vers $0$ lorsque $x\to +\mathrm{\infty }$. Cette condition détermine-t-elle $c$ ? Fixer $c$ en imposant de plus que la différence soit négligeable devant ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, et préciser alors la vitesse à laquelle elle tend vers $0$.

Déterminer, pour chacune des suites suivantes, un développement asymptotique à l'ordre indiqué lorsque $n\to +\mathrm{\infty }$. On explicitera à chaque fois la méthode : factorisation du terme dominant, changement de variable $h={\displaystyle \frac{1}{n}}$, développement limité en $h$, puis retour à $n$.

1. Démontrer l'unicité de la partie régulière d'un développement limité d'ordre $n$ en $0$.

2. En déduire que si $f$ est paire (respectivement impaire) et admet un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_n(0)$, alors sa partie régulière ne contient que des puissances paires (respectivement impaires). Vérifier ce résultat sur $\cos$, $\sin$ et $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$.

3. Une fonction admettant un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_n(0)$ admet-elle un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_p(0)$ pour tout $p⩽n$ ? Et pour $p>n$ ? Justifier, et donner un exemple de fonction admettant un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_2(0)$ mais pas de ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_3(0)$.

4. Soit $f$ admettant le développement limité $f(x)=1+2x-x^2+5x^3+o(x^3)$ en $0$. Que valent $f(0)$, $f^{\mathrm{\prime }}(0)$, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$ ? Peut-on en déduire $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$ ? Justifier soigneusement.

On pose $f(x)=x^3\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ pour $x\mathrm{\ne }0$, et $f(0)=0$.

1. Montrer que $f$ admet un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_2(0)$ et le donner.

2. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f^{\mathrm{\prime }}$.

3. Montrer que $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue en $0$, puis que $f^{\mathrm{\prime }}$ n'est pas dérivable en $0$. En déduire que $f$ n'est pas deux fois dérivable en $0$.

4. Conclure : l'existence d'un ${\mathrm{D}\mathrm{L}}_2(0)$ n'entraîne pas celle de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$. Comparer avec ce que dit exactement la formule de Taylor-Young.

5. Montrer, avec la même fonction, qu'on ne peut pas dériver un développement limité terme à terme.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

1. Montrer que, pour tout entier $k⩾1$,

2. En déduire que la suite $(a_n)$ est décroissante et que la suite $(b_n)$ est croissante.

3. Montrer que $a_n-b_n\to 0$, puis que $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers une même limite, notée $\gamma$ et appelée constante d'Euler. Établir l'encadrement $1-\ln 2⩽\gamma ⩽1$.

4. En déduire le développement asymptotique $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$, puis l'encadrement, valable pour tout $n⩾1$,

5. Applications. Déterminer la limite de $T_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}}$, puis un développement asymptotique à reste $o(1)$ de $U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{2k-1}}$.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on considère l'équation $(E_n)$ : $x+\ln x=n$, d'inconnue $x>0$.

1. Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution $x_n>0$.

2. Montrer que la suite $(x_n{)}_{n⩾1}$ est strictement croissante et tend vers $+\mathrm{\infty }$.

3. Montrer que .

4. Montrer que $x_n=n-\ln n+o(\ln n)$.

5. Pousser d'un cran : montrer que

Soit $u_0\in ]0,\frac{\pi }{2}]$. On définit la suite $(u_n)$ par $u_{n+1}=\sin (u_n)$.

1. Montrer que la suite est bien définie, à valeurs dans $]0,\frac{\pi }{2}]$, strictement décroissante, et qu'elle converge vers $0$.

2. Soit $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Déterminer, en fonction de $\alpha$, la limite de

Pour quelle valeur de $\alpha$ cette limite est-elle finie et non nulle ?

3. Démontrer le lemme suivant (lemme de Cesàro) : si $(v_n)$ est une suite réelle telle que $v_{n+1}-v_n\to \mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$, alors ${\displaystyle \frac{v_n}{n}}\to \mathrm{\ell }$.

4. En déduire que .

1. Calculer le développement limité de $\tan$ en $0$ à l'ordre $5$, par quotient des développements de $\sin$ et $\cos$.

2. Le retrouver en utilisant la relation ${\tan }^{\mathrm{\prime }}=1+{\tan }^2$ et la primitivation d'un développement limité. Pousser ainsi le calcul jusqu'à l'ordre $7$.

3. Soit $g$ la fonction définie sur $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ par $g(x)={\displaystyle \frac{\tan x-x}{x^3}}$ pour $x\mathrm{\ne }0$, prolongée par continuité en $0$. Préciser $g(0)$ et donner le développement limité de $g$ en $0$ à l'ordre $5$.

4. Déterminer le développement limité en $0$ à l'ordre $7$ de $\tan (\sin x)-\sin (\tan x)$, puis un équivalent de cette quantité en $0$. (Les deux fonctions coïncident « longtemps » : c'est ce qui fait l'intérêt de la question.)

5. En déduire la limite en $0$ de ${\displaystyle \frac{\tan x-x}{x-\sin x}}$.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

1. Calculer $W_0$ et $W_1$.

2. Montrer que la suite $(W_n)$ est strictement positive et décroissante, donc convergente.

3. À l'aide d'une intégration par parties, établir que pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

4. En déduire que $(n+1)W_{n+1}{W}_n={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

5. À l'aide de l'encadrement $W_{n+2}⩽W_{n+1}⩽W_n$, montrer que .

6. En déduire que .

Partie A. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_n={\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx}$.

1. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante et tend vers $0$.

2. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $I_n+I_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.

3. En déduire l'encadrement ${\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}}⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{1}{2n}}$ pour $n⩾1$, puis que .

Partie B. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $J_n={\displaystyle {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^n}}$.

4. Vérifier que $1-J_n={\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^n}dx}$, puis encadrer cette quantité pour montrer que $J_n\to 1$.

5. À l'aide du changement de variable $u=x^n$, montrer que .

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}}$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$, étudier sa parité, et calculer ses limites aux bornes du domaine.

2. Donner le développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $5$. En déduire la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ et la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette tangente.

3. Donner le développement asymptotique de $f$ en $+\mathrm{\infty }$ à la précision ${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$. En déduire l'asymptote de $\mathcal{C}$ en $+\mathrm{\infty }$ et la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette asymptote, en $+\mathrm{\infty }$ puis en $-\mathrm{\infty }$.

4. Préciser le comportement de $f$ au voisinage de $1$.

5. Étudier les variations de $f$ et décrire l'allure de $\mathcal{C}$.

On admet la formule de Stirling : .

1. Déterminer un équivalent de ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$.

2. En déduire la limite de ${\displaystyle \frac{1}{4^n}}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$, ainsi qu'un équivalent de cette suite.

3. Déterminer un équivalent de ${\displaystyle \frac{(3n)!}{(n!{)}^3}}$.

4. Déterminer la limite de ${\displaystyle \frac{(n!{)}^{1\mathrm{/}n}}{n}}$.

5. Donner un développement asymptotique de $\ln (n!)$ à deux termes, puis en déduire que .

6. Question de vigilance. La relation $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ signifie-t-elle que la différence $n!-\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ tend vers $0$ ? Justifier soigneusement.

Pour chacune des trois fonctions suivantes, donner un développement asymptotique à trois termes en $+\mathrm{\infty }$ puis en $-\mathrm{\infty }$, en déduire l'asymptote éventuelle et préciser la position de la courbe par rapport à celle-ci.

1. $f(x)=\sqrt[3]{x^3+x^2+1}$.

2. $g(x)=x\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}\right)$ (on précisera d'abord le domaine de définition).

3. $h(x)=(x^2+1)e^{1\mathrm{/}x}$.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_n=]n\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}},n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$.

1. Montrer que l'équation $\tan x=x$ admet une unique solution $x_n$ dans $I_n$.

2. Montrer que $x_n\sim n\pi$ lorsque $n\to +\mathrm{\infty }$.

3. On pose ${\epsilon }_n=n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x_n$. Montrer que $\tan {\epsilon }_n={\displaystyle \frac{1}{x_n}}$, puis que ${\epsilon }_n\to 0^{+}$ et enfin que ${\epsilon }_n\sim {\displaystyle \frac{1}{n\pi }}$.

4. En déduire le développement asymptotique à trois termes

puis pousser le développement d'un cran : déterminer la constante $\alpha$ telle que

Soit $u_0\in ]0,1[$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_{n+1}=u_n-u_n^2$.

1. Montrer que la suite est bien définie, à valeurs dans $]0,1[$, strictement décroissante, et qu'elle converge vers $0$.

2. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{u_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{u_n}}\to 1$. Énoncer et démontrer le lemme de Cesàro sous la forme : si $(v_n)$ vérifie $v_{n+1}-v_n\to \mathrm{\ell }$, alors ${\displaystyle \frac{v_n}{n}}\to \mathrm{\ell }$. En déduire que $u_n\sim {\displaystyle \frac{1}{n}}$.

3. On pose $v_n={\displaystyle \frac{1}{u_n}}-n$. Montrer que $v_{n+1}-v_n\sim {\displaystyle \frac{1}{n}}$.

4. On note $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$. Redémontrer $H_n\sim \ln n$ par comparaison somme-intégrale, puis, par un encadrement explicite écrit avec un $\epsilon$ et un télescopage, établir que $v_n\sim \ln n$. (On n'utilisera aucun théorème sur les séries : ${\sum }_{k=1}^n{a}_k$ est ici une suite, rien de plus.)

5. En déduire que

Pour $n⩾1$, on pose

1. Montrer que $u_n\to e$.

2. Établir le développement asymptotique

3. En déduire un équivalent simple de $e-u_n$.

4. Montrer que $v_n=e+{\displaystyle \frac{c}{n^2}}+o\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$ pour une constante $c$ que l'on déterminera. (Le terme en $\frac{1}{n}$ disparaît : c'est tout l'intérêt de l'exposant $n+\frac{1}{2}$.)

5. Interpréter : laquelle des deux suites approche $e$ le plus vite, et dans quel rapport ?

Partie A. Les intégrales de Wallis

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $W_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n}t\mathrm{d}t}$.

1. Calculer $W_0$ et $W_1$, puis établir, par une intégration par parties, la relation $W_{n+2}={\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}{W}_n$.

2. En déduire, pour tout $p\in \mathbb{N}$, les expressions explicites

3. Montrer que la suite de terme général $(n+1)W_{n+1}{W}_n$ est constante, égale à ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

4. Montrer que $(W_n)$ est strictement positive et décroissante, que $W_{n+1}\sim W_n$, puis que $W_n\sim \sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}}$.

Partie B. La formule de Stirling

Pour $n⩾1$, on pose $a_n={\displaystyle \frac{n!e^n}{n^{n+1\mathrm{/}2}}}$.

5. Montrer que $\ln a_n-\ln a_{n+1}=(n+{\displaystyle \frac{1}{2}})\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})-1$, puis que cette quantité vaut ${\displaystyle \frac{1}{12n^2}}+o\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$.

6. Montrer que $(\ln a_n)$ est strictement décroissante et minorée, et en déduire qu'elle converge. (On majorera $\ln a_n-\ln a_{n+1}$ par $\frac{C}{n^2}$ et l'on utilisera l'inégalité $\frac{1}{k^2}⩽\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$ pour télescoper. Aucun théorème sur les séries n'est autorisé.)

7. En déduire qu'il existe une constante $C_0>0$ telle que $n!\sim C_0\sqrt{n}{\left({\displaystyle \frac{n}{e}}\right)}^n$.

8. Déterminer $C_0$ en appliquant l'équivalent de $W_{2p}$ obtenu en partie A.

Pour $n⩾2$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0,1]$ par $f_n(x)=x^n+x-1$.

1. Montrer que $f_n$ admet une unique racine $x_n$ dans $]0,1[$.

2. Montrer que la suite $(x_n{)}_{n⩾2}$ est strictement croissante, puis qu'elle converge vers $1$.

3. On pose ${\epsilon }_n=1-x_n$. Établir la relation $n\ln (1-{\epsilon }_n)=\ln {\epsilon }_n$, puis montrer que ${\epsilon }_n\to 0^{+}$ et que $n{\epsilon }_n\to +\mathrm{\infty }$.

4. Montrer que ${\epsilon }_n\sim {\displaystyle \frac{\ln n}{n}}$.

5. Obtenir le terme suivant du développement asymptotique de ${\epsilon }_n$.