Exercices — Raisonnement et vocabulaire ensembliste

1. Dire si chacune des assertions suivantes est vraie ou fausse, en justifiant brièvement.

   a. $2+2=4$ ou $2+2=5$

   b. $3^2=9$ ou $2^3=8$

   c. $3^2=9$ et $2^3=6$

   d. Si $2+2=5$, alors $3$ est pair.

   e. Si $2+2=5$, alors $3$ est impair.

   f. Si $2+2=4$, alors $3$ est pair.

   g. Si $2+2=4$, alors $3$ est impair.

   h. $(-3{)}^2=9$ et $-3⩾0$

2. Soient $P$, $Q$ et $R$ trois assertions. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse, en justifiant.

   a. La négation de « $P$ et $Q$ » est « $\mathrm{\neg }P$ et $\mathrm{\neg }Q$ ».

   b. La négation de « $P$ ou $Q$ » est « $\mathrm{\neg }P$ et $\mathrm{\neg }Q$ ».

   c. « $P$ et ($Q$ ou $R$) » a la même valeur de vérité que « ($P$ et $Q$) ou ($P$ et $R$) ».

   d. « $P$ ou ($Q$ et $R$) » a la même valeur de vérité que « ($P$ ou $Q$) et $R$ ».

   e. « $P⟹Q$ » a la même valeur de vérité que « $\mathrm{\neg }P$ ou $Q$ ».

   f. Si $P$ est fausse, alors « $P⟹Q$ » est vraie.

   g. Si « $P⟹Q$ » est vraie et si $Q$ est vraie, alors $P$ est vraie.

3. Écrire la négation des assertions suivantes, portant sur un réel $x$ et sur un entier naturel $n$.

   a. $x⩾2$ et $x^2⩽9$

   b. $n$ est pair ou $n>10$

4. Dresser dans une même table de vérité les colonnes de « $P⟹Q$ » et de « $\mathrm{\neg }P$ ou $Q$ », puis retrouver les réponses aux questions 2. e. et 2. f.

Dans tout l'exercice, $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ désigne une suite réelle et $f$ une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

1. Traduire en langage courant, sans aucun symbole, chacune des propositions suivantes.

   a. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n^2⩾n$

   b. $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2=5$

   c. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2\mathrm{\ne }-1$

   d. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},(n>100\text{ et }n\text{ est pair})$

2. Écrire à l'aide de quantificateurs chacune des phrases suivantes.

   a. La suite $(u_n)$ est majorée.

   b. La suite $(u_n)$ est constante.

   c. L'application $f$ prend la valeur $3$.

   d. Tout réel positif est le carré d'un réel.

   e. La suite $(u_n)$ est minorée par $-2$.

   f. L'application $f$ ne s'annule pas.

3. On considère les deux propositions

   $$A:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},y>x\text{et}B:\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},y>x$$

   a. Traduire $A$ et $B$ en langage courant, en faisant clairement apparaître la différence.

   b. Déterminer la valeur de vérité de $A$, en le justifiant.

   c. Déterminer la valeur de vérité de $B$, en le justifiant.

4. Un étudiant propose l'écriture $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R},u_n⩽M$ pour traduire « la suite $(u_n)$ est majorée ».

   a. Montrer que cette proposition est vraie pour toute suite réelle $(u_n)$, ce qui prouve qu'elle ne traduit pas la phrase voulue.

   b. Exhiber une suite qui n'est pas majorée. On pourra admettre que $\mathbb{N}$ n'est pas majoré dans $\mathbb{R}$.

5. Les propositions $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2=5$ et $\mathrm{\exists }t\in \mathbb{R},t^2=5$ ont-elles le même sens ? Et les propositions $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N},x⩾0$ et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x⩾0$ ?

1. Écrire la négation de chacune des propositions suivantes. On donnera une écriture dans laquelle plus aucune négation ne porte sur une proposition composée : les seules négations restantes doivent porter sur des égalités ou des inégalités.

   a. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2>0$

   b. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},n^2=2$

   c. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},(x⩾2\text{ et }x⩽5)$

   d. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},(n>3\text{ ou }{n}^2=4)$

   e. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},(n\text{ est pair}⟹n^2\text{ est pair})$

   f. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},(x^2=1⟹x=1)$

   g. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},x+y>0$

   h. $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }y\in \mathbb{R},xy=0$

2. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. La proposition « la suite $(u_n)$ est majorée » s'écrit $\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_n⩽M$. Écrire, avec des quantificateurs puis en français, la proposition « la suite $(u_n)$ n'est pas majorée ».

3. Pour chacune des propositions a., f. et h. de la question 1, dire laquelle, de la proposition ou de sa négation, est vraie. On rédigera à chaque fois la démonstration.

On rappelle que, pour deux entiers relatifs $a$ et $b$, « $a$ divise $b$ » signifie qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $b=ak$.

On considère les quatre implications suivantes.

$(I_1)$ Pour $x\in \mathbb{R}$ : si $x=2$, alors $x^2=4$.

$(I_2)$ Pour $n\in \mathbb{N}$ : si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.

$(I_3)$ Pour $x\in \mathbb{R}$ : si $x>3$, alors $x^2>9$.

$(I_4)$ Pour $n\in \mathbb{Z}$ : si $4$ divise $n$, alors $2$ divise $n$.

1. Pour chacune de ces quatre implications, énoncer la réciproque et la contraposée.

2. Déterminer la valeur de vérité de chacune des quatre implications, en démontrant celles qui sont vraies.

3. Déterminer la valeur de vérité de chacune des quatre réciproques, en démontrant celles qui sont vraies et en donnant un contre-exemple pour les autres.

4. En déduire, sans nouveau calcul, la valeur de vérité de chacune des quatre contraposées.

5. Parmi $(I_1)$, $(I_2)$, $(I_3)$ et $(I_4)$, lesquelles sont en réalité des équivalences ?

6. Compléter par « nécessaire », « suffisante » ou « nécessaire et suffisante », en justifiant à chaque fois par l'une des implications précédentes.

   a. Pour un réel $x$, la condition « $x=2$ » est une condition ... pour que $x^2=4$.

   b. Pour un réel $x$, la condition « $x^2=4$ » est une condition ... pour que $x=2$.

   c. Pour un entier naturel $n$, la condition « $n$ est pair » est une condition ... pour que $n^2$ soit pair.

   d. Pour un entier relatif $n$, la condition « $2$ divise $n$ » est une condition ... pour que $4$ divise $n$.

7. Un étudiant affirme : « la contraposée de $P⟹Q$ est $\mathrm{\neg }P⟹\mathrm{\neg }Q$ ». Montrer sur $(I_1)$ que c'est faux, et dire à quoi correspond en réalité l'assertion $\mathrm{\neg }P⟹\mathrm{\neg }Q$.

Chaque démonstration sera rédigée en faisant apparaître explicitement l'initialisation, l'hérédité (avec l'hypothèse de récurrence clairement énoncée) et la conclusion.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(2k-1)=n^2}$.

2. On rappelle qu'un entier relatif $a$ est dit divisible par $3$ lorsqu'il existe un entier relatif $q$ tel que $a=3q$. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'entier $4^n-1$ est divisible par $3$.

3. On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=3u_n+2$.

   a. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

   b. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=2\times 3^n-1$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul, et $(a_i)$ une famille de réels.

1. Donner le nombre de termes de chacune des sommes suivantes.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=3}^{n}k(n⩾3)}$

   d. ${\displaystyle \sum _{k=2}^{2n}k}$

   e. ${\displaystyle \sum _{i=p}^q{a}_i(p⩽q)}$

   f. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}5}$

2. Réécrire chacune des sommes suivantes à l'aide d'un indice partant de $1$, en précisant le changement d'indice utilisé.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(k+1{)}^2}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=2}^{n+1}{\displaystyle \frac{1}{k-1}}}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=3}^{n+2}(k-2)}$

3. On pose ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{n}k}$.

   a. Justifier l'égalité ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k=\sum _{k=0}^n(n-k)}$.

   b. En additionnant membre à membre les deux écritures de $S$, retrouver la valeur de $S$.

4. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(3k-2)}$ à l'aide de la linéarité, et vérifier le résultat obtenu pour $n=4$.

5. Deux étudiants font chacun une erreur classique. Expliquer précisément l'erreur, puis donner l'écriture correcte.

   a. Le premier écrit ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{2}^k=2^k\sum _{k=1}^{n}k}$.

   b. Le second écrit ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k+5)=\sum _{k=1}^{n}k+5}$.

1. On pose $E=\{0,1,\{0\},\{1,2\}\}$. Cet ensemble a donc quatre éléments : les deux nombres $0$ et $1$, ainsi que les deux ensembles $\{0\}$ et $\{1,2\}$. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.

   a. $0\in E$

   b. $\{0\}\in E$

   c. $\{0\}\subset E$

   d. $2\in E$

   e. $\{1,2\}\in E$

   f. $\{1,2\}\subset E$

   g. $\{0,1\}\subset E$

   h. $\mathrm{\varnothing }\subset E$

   i. $\mathrm{\varnothing }\in E$

2. On pose maintenant $E=\{a,b,c\}$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois objets distincts. Écrire en extension l'ensemble $\mathcal{P}(E)$ des parties de $E$, et donner son nombre d'éléments.

3. On garde $E=\{a,b,c\}$. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

   a. $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{P}(E)$

   b. $E\in \mathcal{P}(E)$

   c. $a\in \mathcal{P}(E)$

   d. $\{a\}\in \mathcal{P}(E)$

   e. $\{a\}\subset \mathcal{P}(E)$

   f. $\{\{a\}\}\subset \mathcal{P}(E)$

4. Décrire chacun des ensembles suivants, en extension s'il est fini, sous forme d'intervalle sinon.

   a. $A=\{x\in \mathbb{R};x^2⩽4\}$

   b. $B=\{x\in \mathbb{R};x^2=4\}$

   c. $C=\{n\in \mathbb{N};n^2⩽10\}$

   d. $D=\{x\in \mathbb{R};x^2+1=0\}$

   e. $G=\{2k;k\in \mathbb{N}\text{ et }k⩽3\}$

5. Avec les ensembles de la question 4, dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

   a. $B\subset A$

   b. $C\subset A$

   c. $D\subset A$

   d. $-2\in B$

   e. $B\cap C=\{2\}$

   f. $A\cap \mathbb{N}=\{0,1,2\}$

On considère les trois applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définies par

1. Calculer les nombres suivants.

   a. $f(0)$

   b. $f(-2)$

   c. $g(-3)$

   d. $g\left(\sqrt{2}\right)$

   e. $h(-5)$

   f. $(h\circ f)(1)$

2. Déterminer tous les antécédents des nombres suivants par l'application indiquée.

   a. $5$ par $f$

   b. $9$ par $g$

   c. $-4$ par $g$

   d. $7$ par $h$

   e. $0$ par $h$

3. a. Expliciter les applications $g\circ f$ et $f\circ g$.

   b. Ces deux applications sont-elles égales ? Justifier.

4. Déterminer les ensembles suivants.

   a. L'image directe $f([0,1])$

   b. L'image directe $g([-1,2])$

   c. L'image réciproque $f^{-1}([1,5])$

   d. L'image réciproque $h^{-1}(\{3\})$

5. Soient $E=\{1,2,3,4\}$ et $F=\{a,b,c\}$. On considère l'application $\phi :E\to F$ définie par le tableau de valeurs suivant.

   $x$	$1$	$2$	$3$	$4$
   $\phi (x)$	$a$	$c$	$a$	$b$

   a. Donner l'image de $3$ par $\phi$.

   b. Donner tous les antécédents de $a$, puis de $b$, puis de $c$.

   c. Déterminer $\phi (\{1,2\})$ et $\phi (E)$.

   d. Déterminer ${\phi }^{-1}(\{a,b\})$ et ${\phi }^{-1}(\{c\})$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul. On rappelle les trois formules du cours :

1. Calculer les sommes suivantes, et donner le résultat sous forme factorisée.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k+3)}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{2}^k}$

   d. ${\displaystyle \sum _{k=3}^{n}k(n⩾3)}$

   e. ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^k}$

   f. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k^2-k)}$

2. Vérifier les résultats obtenus en a., b. et f. en calculant directement ces trois sommes pour $n=4$.

3. Déduire des questions 1. b. et 1. f. la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)-\sum _{k=1}^n(k^2-k)}$, puis retrouver ce résultat en regroupant les deux sommes en une seule.

On rappelle le principe du télescopage : si $(a_k)$ est une suite de réels et si $p⩽n$, alors

En pratique, on ne se fie jamais aux pointillés : on sépare la somme en deux, puis on effectue un changement d'indice dans l'une des deux pour faire apparaître les termes qui se simplifient.

1. a. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout entier $k⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{\alpha }{k}}+{\displaystyle \frac{\beta }{k+1}}$.

   b. En déduire, pour tout entier $n⩾1$, la valeur de ${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}}$.

   c. Vérifier le résultat obtenu pour $n=3$ par un calcul direct.

2. a. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout entier $k⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{k(k+2)}}={\displaystyle \frac{\alpha }{k}}+{\displaystyle \frac{\beta }{k+2}}$.

   b. En déduire, pour tout entier $n⩾1$, la valeur de ${\displaystyle T_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+2)}}}$. On prendra garde au fait que le télescopage laisse ici quatre termes, et non deux.

   c. Vérifier le résultat obtenu pour $n=2$ par un calcul direct.

3. Soit $n⩾1$. Calculer ${\displaystyle U_n=\sum _{k=1}^n((k+1{)}^2-k^2)}$ de deux façons : d'abord par télescopage, ensuite en développant le terme général. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}$.

4. Calculer, pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle V_n=\sum _{k=1}^n\ln \left({\displaystyle \frac{k+1}{k}}\right)}$.

5. Calculer, pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle W_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}}}$. On commencera par simplifier le terme général en multipliant par la quantité conjuguée.

On rappelle que pour $n⩾1$, $n!=1\times 2\times \cdots \times n={\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k}$, avec la convention $0!=1$. On rappelle également le télescopage multiplicatif : si les $a_k$ sont tous non nuls, alors

Comme pour les sommes, on justifie ce type de calcul en séparant le produit en deux et en effectuant un changement d'indice, jamais en écrivant des pointillés.

1. Calculer, pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle P_n=\prod _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k+1}{k}}}$.

2. Calculer, pour tout entier $n⩾2$, ${\displaystyle Q_n=\prod _{k=2}^n(1-{\displaystyle \frac{1}{k}})}$.

3. Calculer, pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle R_n=\prod _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k}{k+2}}}$, puis vérifier le résultat pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

4. Simplifier les expressions suivantes, où $n$ est un entier pour lequel l'écriture a un sens.

   a. ${\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}}$

   b. ${\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}}$ pour $n⩾2$

   c. ${\displaystyle \frac{(2n)!}{(2n-2)!}}$ pour $n⩾1$

   d. ${\displaystyle \frac{(n+1)!-n!}{n!}}$

5. a. Calculer ${\displaystyle A_n=\prod _{k=1}^n{e}^{2k-1}}$ pour $n⩾1$.

   b. Soit ${\displaystyle B_n=\prod _{k=1}^n(1+{\displaystyle \frac{1}{k}})}$. Calculer $\ln (B_n)$ en transformant le produit en somme, en déduire $B_n$, et comparer avec la question 1.

6. Calculer, pour tout entier $n⩾2$, ${\displaystyle C_n=\prod _{k=2}^n(1-{\displaystyle \frac{1}{k^2}})}$.

Dans tout l'exercice, $E$ désigne un ensemble et $A$, $B$, $C$ des parties de $E$. On note $\bar{A}=\{x\in E;x\mathrm{\notin }A\}$ le complémentaire de $A$ dans $E$, et $A\setminus B=\{x\in A;x\mathrm{\notin }B\}$.

On rappelle la méthode de la double inclusion : pour démontrer que deux ensembles $X$ et $Y$ sont égaux, on démontre successivement $X\subset Y$, en commençant par « soit $x\in X$ » et en concluant « donc $x\in Y$ », puis $Y\subset X$ de la même façon. Les questions 1. à 4. sont à traiter ainsi, avec cette rédaction.

1. Démontrer la première loi de De Morgan : $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$.

2. Démontrer la seconde loi de De Morgan : $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$.

3. Démontrer la distributivité de l'intersection sur la réunion : $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$.

4. Démontrer que $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

5. On veut démontrer autrement l'identité de la question 3., cette fois par équivalences successives, c'est-à-dire en écrivant une suite d'assertions équivalentes reliant « $x\in A\cap (B\cup C)$ » à « $x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$ ».

   a. Rédiger cette démonstration.

   b. Quelle règle du calcul propositionnel a-t-on utilisée à l'étape décisive ? La justifier par une table de vérité.

   c. À quelle condition précise une telle chaîne démontre-t-elle bien une égalité d'ensembles ? Que démontre-t-elle si l'une des étapes n'est qu'une implication ?

On rappelle deux définitions.

Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est $E\times F=\{(x,y);x\in E\text{ et }y\in F\}$. Deux couples sont égaux si et seulement s'ils ont mêmes composantes dans le même ordre : $(x,y)=(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ équivaut à « $x=x^{\mathrm{\prime }}$ et $y=y^{\mathrm{\prime }}$ ».

L'ensemble des parties d'un ensemble $A$ est l'ensemble $\mathcal{P}(A)$ dont les éléments sont les parties de $A$ : pour tout ensemble $X$, on a $X\in \mathcal{P}(A)$ si et seulement si $X\subset A$. Attention, cette équivalence fait passer d'une appartenance à une inclusion : c'est tout l'enjeu des questions 5. et 6.

1. On pose $E=\{1,2\}$ et $F=\{a,b,c\}$.

   a. Écrire $E\times F$ puis $F\times E$ en extension.

   b. A-t-on $E\times F=F\times E$ ? Justifier.

   c. Écrire $\mathcal{P}(E)$ en extension.

2. Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides. Démontrer que $E\times F=F\times E$ si et seulement si $E=F$. Que se passe-t-il si l'on supprime l'hypothèse « non vides » ?

3. Soient $A$, $B$, $C$ trois ensembles. Démontrer que $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$.

4. L'égalité $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$ est-elle vraie pour tous ensembles $A$, $B$, $C$ ? La démontrer si oui, en donner un contre-exemple si non.

5. Soient $A$ et $B$ deux ensembles. Démontrer que $\mathcal{P}(A\cap B)=\mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)$.

6. a. Démontrer que l'inclusion $\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)\subset \mathcal{P}(A\cup B)$ est vraie pour tous ensembles $A$ et $B$.

   b. Donner un contre-exemple montrant que l'égalité $\mathcal{P}(A\cup B)=\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)$ est fausse en général.

   c. Démontrer que cette égalité a lieu si et seulement si $A\subset B$ ou $B\subset A$.

On rappelle que l'implication $P⟹Q$ et sa contraposée $(\text{non }Q)⟹(\text{non }P)$ sont deux assertions équivalentes : démontrer l'une, c'est démontrer l'autre. On prendra garde à ne pas la confondre avec la réciproque $Q⟹P$, qui, elle, n'a aucune raison d'être vraie.

Dans les questions 2. à 5., on écrira systématiquement la contraposée avant de la démontrer.

1. Écrire (sans les démontrer) la contraposée des implications suivantes. On rappelle que « $n$ est un multiple de $4$ » signifie « il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=4k$ ».

   a. Soit $n\in \mathbb{Z}$. Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.

   b. Soit $x\in \mathbb{R}$. Si $x^3=8$, alors $x=2$.

   c. Soient $x$ et $y$ deux réels. Si $xy\mathrm{\ne }0$, alors $x\mathrm{\ne }0$ et $y\mathrm{\ne }0$.

   d. Soit $n\in \mathbb{Z}$. Si $n$ est un multiple de $4$, alors $n$ est pair.

2. Soit $n\in \mathbb{Z}$. Démontrer que si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.

3. Soient $x$ et $y$ deux réels. Démontrer l'implication suivante :

   $$(\mathrm{\forall }z\in \mathbb{R},(z⩽x\text{ ou }z⩾y))⟹y⩽x$$

   Interpréter le résultat obtenu en une phrase.

4. Soit $a\in \mathbb{R}$. On veut démontrer que si $\mathrm{\forall }\epsilon >0$, $\mid a\mid ⩽\epsilon$, alors $a=0$.

   a. Le démontrer par contraposée.

   b. Le démontrer par l'absurde.

   c. Comparer les deux rédactions. Laquelle utilise réellement l'hypothèse de départ ?

5. Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. Démontrer par contraposée que si $A\cup B=A\cap B$, alors $A=B$. L'implication réciproque est-elle vraie ?

Un réel $x$ est dit rationnel s'il existe $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $x={\displaystyle \frac{p}{q}}$. L'ensemble des rationnels est noté $\mathbb{Q}$, et un réel qui n'appartient pas à $\mathbb{Q}$ est dit irrationnel.

On admet les deux faits suivants.

(i) Tout rationnel peut s'écrire ${\displaystyle \frac{p}{q}}$ avec $p\in \mathbb{Z}$, $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p$, $q$ non tous les deux pairs. En effet, si $p$ et $q$ sont tous deux pairs, on simplifie la fraction par $2$ ; cette opération ne peut pas se répéter indéfiniment, car le dénominateur est un entier strictement positif qui diminue strictement à chaque simplification.

(ii) La somme, la différence et le produit de deux rationnels sont rationnels, ainsi que le quotient d'un rationnel par un rationnel non nul.

On rappelle enfin que pour $a⩾0$, $\sqrt{a}$ est l'unique réel positif dont le carré vaut $a$.

1. a. Démontrer que le carré d'un entier impair est impair.

   b. En déduire, par contraposée, que si $n\in \mathbb{Z}$ et si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

2. Démontrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

3. En déduire que $\sqrt{2}+3$ et $\sqrt{8}$ sont irrationnels.

4. Soit $r\in \mathbb{Q}$ et soit $x$ un réel irrationnel.

   a. Démontrer que $r+x$ est irrationnel.

   b. Démontrer que si de plus $r\mathrm{\ne }0$, alors $rx$ est irrationnel.

5. La somme de deux irrationnels est-elle toujours irrationnelle ? Et leur produit ? Justifier par des contre-exemples.

6. Dans la démonstration de la question 2., à quel endroit exact l'hypothèse « $p$ et $q$ non tous les deux pairs » a-t-elle servi ? Que resterait-il de la démonstration sans elle ?

On rappelle la définition de la partie entière : pour tout réel $x$, $\lfloor x\rfloor$ est l'unique entier $m$ tel que

C'est cette caractérisation, et elle seule, qui sert à démontrer une égalité de parties entières : pour établir que $\lfloor x\rfloor =m$, on montre que $m$ est un entier et que $m⩽x<m+1$. On appelle partie fractionnaire de $x$ le réel $t=x-\lfloor x\rfloor$, qui vérifie $0⩽t<1$.

On rappelle aussi que $\mid x\mid =x$ si $x⩾0$ et $\mid x\mid =-x$ si $x<0$.

1. Calculer les parties entières suivantes, en justifiant par un encadrement.

   a. $\lfloor \mathrm{3,7}\rfloor$

   b. $\lfloor -\mathrm{3,7}\rfloor$

   c. $\lfloor 5\rfloor$

   d. $\lfloor -\mathrm{0,5}\rfloor$

   e. $\lfloor \sqrt{2}\rfloor$

   f. $\lfloor -\sqrt{2}\rfloor$

2. Démontrer par disjonction de cas que pour tout $n\in \mathbb{Z}$, l'entier $n(n+1)$ est pair.

3. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{Z}$, l'entier $n^2+n+1$ est impair.

4. a. Vérifier l'égalité $\lfloor x\rfloor +\lfloor x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor 2x\rfloor$ pour $x=\mathrm{0,3}$, puis $x=\mathrm{0,8}$, puis $x=-\mathrm{1,2}$.

   b. Démontrer cette égalité pour tout réel $x$, en séparant les cas selon la position de la partie fractionnaire de $x$ par rapport à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

5. a. Démontrer par disjonction de cas sur les signes que pour tous réels $x$ et $y$, $\mid x+y\mid ⩽\mid x\mid +\mid y\mid$.

   b. Déterminer, en reprenant les cas de la question précédente, à quelle condition sur $x$ et $y$ cette inégalité est une égalité.

On rappelle la définition de la divisibilité : pour $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in \mathbb{Z}$, on dit que $a$ divise $b$, et on note $a\mid b$, s'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $b=ak$. En particulier, $a\mid 0$ pour tout entier $a$, puisque $0=a\times 0$.

On rappelle également le schéma d'une démonstration par récurrence, à respecter dans les quatre premières questions : on nomme la proposition $\mathcal{H}(n)$, on vérifie l'initialisation, on démontre l'hérédité (pour un $n$ quelconque fixé, $\mathcal{H}(n)⟹\mathcal{H}(n+1)$), puis on conclut en invoquant le principe de récurrence.

1. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $3$ divise $4^n+2$.

2. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $7$ divise $3^{2n+1}+2^{n+2}$.

3. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $6$ divise $n^3-n$. On pourra commencer par établir que le produit de deux entiers consécutifs est pair.

4. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $9$ divise ${10}^n-1$.

5. Retrouver le résultat de la question 4. sans récurrence, en utilisant l'identité

   $$x^n-1=(x-1)\sum _{k=0}^{n-1}{x}^k$$

   valable pour tout réel $x$ et tout entier $n⩾1$, que l'on commencera par démontrer par télescopage.

Une récurrence portant sur une inégalité obéit au même schéma en trois temps qu'une récurrence portant sur une égalité : proposition $\mathcal{H}(n)$ clairement énoncée, initialisation, hérédité, conclusion. La différence est dans l'hérédité : on part de l'inégalité au rang $n$ et on la transforme par des opérations dont il faut contrôler le sens, en particulier lors d'une multiplication, licite sans changement de sens uniquement par un facteur positif.

On utilisera librement la croissance de la fonction racine carrée sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ : si $0⩽a⩽b$, alors $\sqrt{a}⩽\sqrt{b}$.

1. Inégalité de Bernoulli. Soit $x$ un réel tel que $x⩾-1$. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$,

   $$(1+x{)}^n⩾1+nx$$

   Préciser à quel endroit exact l'hypothèse $x⩾-1$ est utilisée, et montrer par un contre-exemple qu'elle ne peut pas être supprimée.

2. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $2^n⩾n+1$. Retrouver ensuite ce résultat en une ligne à partir de la question 1.

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n⩾1$, $n!⩾2^{n-1}$.

4. On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.

   a. Calculer $u_1$ et $u_2$, en donnant la valeur exacte puis une valeur approchée.

   b. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽u_n⩽2$. On observera que cette question garantit au passage que la suite est bien définie.

   c. Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante, c'est-à-dire que $u_n⩽u_{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

   d. Retrouver la croissance sans récurrence, en étudiant le signe de $u_{n+1}^2-u_n^2$.

On rappelle que, pour une application $f:E\to F$ :

Autrement dit, $f$ est injective lorsque tout élément de $F$ admet au plus un antécédent, surjective lorsque tout élément de $F$ admet au moins un antécédent, et bijective lorsque tout élément de $F$ admet exactement un antécédent.

Méthode. Dans tout l'exercice, on procède toujours de la même façon : on fixe $y$ dans l'ensemble d'arrivée, on résout l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x$ dans l'ensemble de départ, et on compte ses solutions.

Étudier l'injectivité et la surjectivité de chacune des applications suivantes. Lorsque l'application est bijective, expliciter son application réciproque.

1. $f_1:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto x^2$.

2. $f_2:{\mathbb{R}}_{+}\to {\mathbb{R}}_{+}$, $x\mapsto x^2$.

3. $f_3:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto 3x-5$.

4. $f_4:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, $n\mapsto 2n$.

5. $f_5:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, $n\mapsto n+1$.

6. $f_6:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto x^3-x$. Montrer que $f_6$ n'est pas injective en exhibant trois antécédents d'un même réel. Peut-on décider de la surjectivité de $f_6$ avec les seuls outils de ce chapitre ? Répondre honnêtement.

7. On considère enfin les deux applications $h_1:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto x^2$ et $h_2:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{+}$, $x\mapsto x^2$. Étudier leur injectivité et leur surjectivité, puis rassembler dans un tableau les quatre applications de formule $x\mapsto x^2$ rencontrées dans l'exercice. Quelle conclusion en tirer ?

On rappelle que, pour une application $f:E\to F$, une partie $A$ de $E$ et une partie $B$ de $F$ :

L'ensemble $f(A)$, appelé image directe de $A$, est une partie de $F$ ; l'ensemble $f^{-1}(B)$, appelé image réciproque de $B$, est une partie de $E$.

Dans tout l'exercice, $f$ et $g$ sont les applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définies par $f(x)=x^2$ et $g(x)=\mid x-1\mid$. Déterminer chacun des ensembles demandés et justifier soigneusement.

1. Images directes par $f$ :

   a. $f([-1,2])$

   b. $f([1,3])$

2. Images réciproques par $f$ :

   a. $f^{-1}([1,4])$

   b. $f^{-1}([-4,-1])$

   c. $f^{-1}(\{0\})$

   d. $f^{-1}({\mathbb{R}}_{+})$

3. Images directes et réciproques par $g$ :

   a. $g([0,3])$

   b. $g([2,5])$

   c. $g^{-1}([0,2])$

   d. $g^{-1}([2,3])$

4. Déterminer les trois ensembles suivants, appelés fibres de $g$ :

   a. $g^{-1}(\{-2\})$

   b. $g^{-1}(\{0\})$

   c. $g^{-1}(\{5\})$

5. Calculer $f(f^{-1}([1,4]))$ et $f^{-1}(f([1,3]))$, puis comparer ces ensembles à $[1,4]$ et $[1,3]$ respectivement.

6. L'écriture $f^{-1}(B)$ suppose-t-elle que $f$ est bijective ? Que peut-on dire du nombre d'éléments de $f^{-1}(\{y\})$ ? Répondre en s'appuyant sur les questions précédentes.

Les quatre « démonstrations » ci-dessous sont entièrement rédigées, et toutes fausses. Pour chacune d'elles :

• dire si l'énoncé lui-même est vrai ou faux, et le prouver par un contre-exemple numérique s'il est faux ;
• localiser précisément l'erreur de la démonstration, c'est-à-dire désigner la ligne fautive et dire ce qui manque ou ce qui est illégitime ;
• rédiger correctement la démonstration lorsque l'énoncé est vrai.

1. Une somme décalée de 7.

Affirmation. Pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+7}$.

« Démonstration ». Notons $\mathcal{H}(n)$ la propriété ci-dessus. Hérédité : soit $n⩾1$, supposons $\mathcal{H}(n)$ vraie. Alors

ce qui est exactement $\mathcal{H}(n+1)$. La propriété est donc héréditaire, et par récurrence elle est vraie pour tout $n⩾1$.

2. Tous les crayons ont la même couleur.

Affirmation. Pour tout entier $n⩾1$, dans tout sac contenant exactement $n$ crayons, tous les crayons ont la même couleur.

« Démonstration ». Notons $\mathcal{H}(n)$ cette propriété. Initialisation : un sac contenant $1$ crayon ne contient qu'une seule couleur, donc $\mathcal{H}(1)$ est vraie. Hérédité : soit $n⩾1$, supposons $\mathcal{H}(n)$ vraie et considérons un sac contenant $n+1$ crayons, numérotés $c_1,c_2,\dots ,c_{n+1}$. Le sac $\{c_1,c_2,\dots ,c_n\}$ contient $n$ crayons, donc par hypothèse de récurrence tous ses crayons ont la même couleur. De même, le sac $\{c_2,c_3,\dots ,c_{n+1}\}$ contient $n$ crayons, donc tous ses crayons ont la même couleur. Or le crayon $c_2$ appartient aux deux sacs : tous les crayons des deux sacs ont donc la couleur de $c_2$, et comme ces deux sacs recouvrent le sac initial, les $n+1$ crayons ont tous la même couleur. Donc $\mathcal{H}(n+1)$ est vraie, et par récurrence $\mathcal{H}(n)$ est vraie pour tout $n⩾1$.

3. Une suite récurrente d'ordre deux.

Affirmation. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=1$, $u_1=4$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$. Alors, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=2^n$.

« Démonstration ». Notons $\mathcal{H}(n)$ la propriété « $u_n=2^n$ ». Initialisation : $u_0=1=2^0$, donc $\mathcal{H}(0)$ est vraie. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$, supposons $\mathcal{H}(n)$ et $\mathcal{H}(n+1)$ vraies. Alors

donc $\mathcal{H}(n+2)$ est vraie. Par récurrence double, $u_n=2^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

4. Une inégalité exponentielle.

Affirmation. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $3^n⩾2n+1$.

« Démonstration ». Notons $\mathcal{H}(n)$ la propriété ci-dessus. Initialisation : $3^0=1$ et $2\times 0+1=1$, donc $\mathcal{H}(0)$ est vraie. Hérédité : supposons que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on ait $3^n⩾2n+1$. Alors

donc $\mathcal{H}(n+1)$ est vraie. Par récurrence, $3^n⩾2n+1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

5. Résumer en trois points ce que doit impérativement contenir une récurrence correctement rédigée.

On utilisera librement les sommes usuelles, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

Dans tout l'exercice, $n$ et $m$ désignent des entiers naturels non nuls.

1. Soient $(a_1,\dots ,a_n)$ et $(b_1,\dots ,b_m)$ deux familles de réels. Démontrer soigneusement l'identité

   $$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=1}^m{b}_j\right)\mathrm{.}$$

2. En déduire la valeur de ${\displaystyle S_1=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}ij}$. Vérifier le résultat pour $n=m=2$, puis pour $n=2$ et $m=3$.

3. Calculer ${\displaystyle S_2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j)}$. Comparer $S_2$ au produit $\left({\sum }_{i=1}^{n}i\right)\left({\sum }_{j=1}^{n}j\right)$ pour $n=2$. Quelle mise en garde faut-il en tirer ?

4. Calculer ${\displaystyle S_3=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\min (i,j)}$, en découpant la somme intérieure selon que $j⩽i$ ou $j>i$. Vérifier le résultat pour $n=2$ et pour $n=3$.

5. En déduire ${\displaystyle S_4=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\max (i,j)}$ sans aucun nouveau calcul de somme double. Vérifier pour $n=2$ et $n=3$.

6. Calculer ${\displaystyle S_5=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{2}^i{3}^j}$.

On utilisera librement les sommes usuelles ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}$, valables pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Une somme est dite triangulaire lorsque son domaine de sommation est de la forme $\{(i,j);1⩽i⩽j⩽n\}$ ou $\{(i,j);1⩽i<j⩽n\}$ : les bornes de l'un des indices dépendent alors de l'autre.

1. Calculer ${\displaystyle T_1=\sum _{1⩽i⩽j⩽n}1}$ et ${\displaystyle T_2=\sum _{1⩽i<j⩽n}1}$. Retrouver la valeur de $T_2$ à partir de celle de $T_1$, puis par un argument de symétrie sur le carré d'indices. Vérifier les deux résultats pour $n=3$.

2. Calculer ${\displaystyle T_3=\sum _{1⩽i⩽j⩽n}i}$ de deux façons : en sommant d'abord sur $i$, puis en sommant d'abord sur $j$. Vérifier pour $n=3$.

3. Soient $a_1,a_2,\dots ,a_n$ des réels. Démontrer l'identité

   $${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2=\sum _{i=1}^n{a}_i^2+2\sum _{1⩽i<j⩽n}{a}_i{a}_j\mathrm{.}$$

4. En déduire la valeur de ${\displaystyle T_4=\sum _{1⩽i<j⩽n}ij}$. Vérifier pour $n=2$ et $n=3$.

5. Soit $(u_{i,j})$ une famille de réels indexée par les couples $(i,j)$ avec $1⩽i⩽j⩽n$. Justifier soigneusement l'égalité

   $$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n{u}_{i,j}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^j{u}_{i,j}$$

   en décrivant précisément le domaine de sommation.

6. Application : calculer ${\displaystyle A=\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n{\displaystyle \frac{1}{j}}}$. Vérifier pour $n=3$.

7. Application : calculer ${\displaystyle B=\sum _{1⩽i⩽j⩽n}{\displaystyle \frac{i}{j}}}$. Vérifier pour $n=2$ et $n=3$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul, et l'on pose

On admet la valeur de la première : $S_1={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$. Le but est d'obtenir $S_2$ puis $S_3$ sans récurrence, par la méthode du télescopage, qui présente l'avantage de ne pas exiger que l'on connaisse le résultat à l'avance.

1. Soit $(v_k)$ une suite de réels. Démontrer la formule de télescopage :

   $$\sum _{k=1}^n(v_{k+1}-v_k)=v_{n+1}-v_1\mathrm{.}$$

2. Développer $(k+1{)}^3-k^3$. En sommant cette égalité pour $k$ allant de $1$ à $n$, en déduire la valeur de $S_2$.

3. Développer de même $(k+1{)}^4-k^4$, et en déduire la valeur de $S_3$.

4. Vérifier les trois formules pour $n=4$.

5. Démontrer l'identité $S_3=S_1^2$, autrement dit

   $$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2\mathrm{.}$$

6. Interpréter cette identité comme un calcul de somme double : montrer que

   $$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}ij=\sum _{k=1}^n{k}^3$$

   en regroupant les couples $(i,j)$ selon la valeur de $\max (i,j)$. Vérifier pour $n=2$ et $n=3$.

Partie A. Une suite dont on cherche la forme explicite

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=2$, $u_1=6$ et

1. Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

2. Comparer ces valeurs à $2^n+4^n$ pour $n=0$, $1$, $2$, $3$ et $4$, et conjecturer une formule explicite pour $u_n$.

3. Démontrer la conjecture par récurrence double.

4. Combien d'initialisations cette récurrence exige-t-elle, et pourquoi ? Que deviendrait la démonstration si l'énoncé donnait $u_1=7$ au lieu de $u_1=6$, tout le reste étant inchangé ?

Partie B. La suite de Fibonacci

On considère la suite $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et

5. Calculer $F_2$, $F_3$, $F_4$, $F_5$, $F_6$ et $F_7$.

6. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{F}_k=F_{n+2}-1}$. Combien d'initialisations sont nécessaires ici ? Justifier.

7. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$, $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$. Vérifier le résultat pour $n=1$, $2$, $3$ et $4$.

8. Les énoncés des questions 6 et 7 font intervenir plusieurs termes consécutifs de la suite, et pourtant une seule initialisation suffit dans chaque cas, alors qu'il en fallait deux à la question 3. Expliquer ce qui décide, en réalité, du nombre d'initialisations.

Partie A. Une suite définie par la somme de tous ses termes précédents

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=1$ et

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$, puis conjecturer une formule explicite.

2. Démontrer la conjecture par récurrence forte.

3. Expliquer pourquoi une hypothèse de récurrence portant sur le seul rang $n-1$ ne permet pas de mener directement ce raisonnement. Montrer ensuite que, pour tout $n⩾1$, $u_{n+1}=2u_n$, et retrouver ainsi le résultat par une récurrence simple.

Partie B. Écriture d'un entier comme somme de puissances de deux

4. Démontrer que, pour tout $p\in \mathbb{N}$, $2^p⩾p+1$.

5. Démontrer que tout entier $n⩾1$ peut s'écrire comme une somme de puissances de $2$ deux à deux distinctes, c'est-à-dire qu'il existe un entier $r⩾1$ et des entiers naturels $p_1>p_2>\cdots >p_r$ tels que

   $$n=2^{p_1}+2^{p_2}+\cdots +2^{p_r}\mathrm{.}$$

   (Une somme réduite à un seul terme est autorisée. On demande seulement l'existence d'une telle écriture, pas son unicité.) Illustrer la méthode sur $n=13$ et $n=100$.