Exercices — Fonctions réelles d'une variable réelle

L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression $f(x)$ a un sens. On rappelle les trois contraintes usuelles : $\sqrt{u}$ exige $u⩾0$, un quotient exige un dénominateur non nul, et $\ln (u)$ exige $u>0$.

1. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes. Lorsque cet ensemble n'est pas un intervalle, préciser l'intervalle sur lequel on choisit de poursuivre l'étude.

   a. $f_1(x)=\sqrt{x-3}$

   b. $f_2(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x-5}}$

   c. $f_3(x)=\ln (4-x)$

   d. $f_4(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+2}}}$

   e. $f_5(x)=\sqrt{x^2-9}$

   f. $f_6(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x-1}}$

2. Étudier la parité des fonctions suivantes.

   a. $g_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g_1(x)=x^4-3x^2+1$.

   b. $g_2$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g_2(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$.

   c. $g_3$ définie sur $[-2,2]$ par $g_3(x)=x^2+x$.

3. La question de la parité de la fonction $f_1$ de la question 1 a-t-elle un sens ? Justifier.

4. Démontrer que $f_1$ est strictement croissante sur $[3,+\mathrm{\infty }[$.

On confond, comme le fait le programme, un polynôme et sa fonction polynomiale. Un polynôme non nul s'écrit $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ avec $a_n\mathrm{\ne }0$ : l'entier $n$ est son degré, noté $\mathrm{deg}P$, et $a_n$ son coefficient dominant. Par convention, le polynôme nul a pour degré $-\mathrm{\infty }$. On note $\mathbb{R}[x]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels et, pour $n\in \mathbb{N}$, ${\mathbb{R}}_n[x]$ l'ensemble de ceux dont le degré est inférieur ou égal à $n$.

1. Donner le degré et, lorsqu'il existe, le coefficient dominant de chacun des polynômes suivants.

   a. $A(x)=5x^4-x^2+7$

   b. $B(x)=-2x^3+x$

   c. $C(x)=6$

   d. $D(x)=0$

   e. $F(x)=(2x-1)(x^2+3)$

   f. $G(x)=(x^2+1{)}^2-x^4$

2. On pose, pour tout réel $x$, $P(x)=3x^3-2x^2+x-5$ et $Q(x)=-3x^3+2x^2+4x+1$.

   a. Calculer $P+Q$ et donner son degré. Comparer ce degré au plus grand des deux degrés $\mathrm{deg}P$ et $\mathrm{deg}Q$.

   b. Sans développer entièrement le produit, donner le degré de $PQ$, son coefficient dominant, son terme constant, puis le coefficient de $x^5$.

3. On pose $H(x)=x^2-4$ et $K(x)=4-x^2$. Calculer $H+K$ et donner son degré. Expliquer pourquoi la convention $\mathrm{deg}0=-\mathrm{\infty }$ permet d'énoncer l'inégalité $\mathrm{deg}(H+K)⩽\max (\mathrm{deg}H,\mathrm{deg}K)$ sans aucune exception.

4. Parmi les polynômes suivants, lesquels appartiennent à ${\mathbb{R}}_3[x]$ ?

   a. $x^3-x$

   b. $5$

   c. $0$

   d. $x^4-x^3$

   e. $(x-1{)}^3$

   f. $(x^2+1)(x^2-1)$

5. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$,

   $$a(x-1{)}^2+b(x-1)+c=2x^2-3x+4$$

On considère les trois trinômes définis, pour tout réel $x$, par

$$P(x)=2x^2-5x-3,Q(x)=x^2-6x+9,R(x)=-x^2+x-3$$

1. Pour chacun de ces trois trinômes, calculer le discriminant, en déduire le nombre de racines réelles, déterminer ces racines lorsqu'elles existent, et factoriser le trinôme lorsque c'est possible.

2. Dresser le tableau de signe de chacun des trois trinômes.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

   a. $2x^2-5x-3⩽0$

   b. $x^2-6x+9>0$

   c. $-x^2+x-3⩾0$

4. a. Vérifier sur le trinôme $P$ les deux relations du cours : la somme des racines vaut $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ et leur produit vaut ${\displaystyle \frac{c}{a}}$.

   b. Soit $T(x)=x^2-7x+12$. Sans calculer les racines, montrer que $T$ admet deux racines réelles distinctes et que toutes deux sont strictement positives. Calculer ensuite ces racines pour contrôler la réponse.

Pour tout réel $x>0$ et tout réel $\alpha$, on pose $x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$. On rappelle les règles de calcul, valables pour $x>0$ et $y>0$ et pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ :

$$x^{\alpha }\times x^{\beta }=x^{\alpha +\beta },{\displaystyle \frac{x^{\alpha }}{x^{\beta }}}=x^{\alpha -\beta },{\left(x^{\alpha }\right)}^{\beta }=x^{\alpha \beta },x^{-\alpha }={\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha }}},(xy{)}^{\alpha }=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$$

On rappelle enfin que $\sqrt{x}=x^{1\mathrm{/}2}$ pour $x⩾0$. Dans tout l'exercice, la lettre $x$ désigne un réel strictement positif : c'est la condition sous laquelle ces règles s'appliquent.

1. Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme $x^{\alpha }$.

   a. $x^3\times x^{-5}$

   b. ${\displaystyle \frac{x^7}{x^2}}$

   c. ${\left(x^2\right)}^3$

   d. $\sqrt{x}\times x^2$

   e. ${\displaystyle \frac{1}{x^{-3}}}$

   f. ${\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}2}}{x^{1\mathrm{/}3}}}$

   g. ${\left(\sqrt{x}\right)}^4$

   h. $\sqrt{x^3}\times x^{-1\mathrm{/}2}$

2. Calculer les nombres suivants, en donnant à chaque fois une valeur exacte sous forme d'entier ou de fraction.

   a. $8^{2\mathrm{/}3}$

   b. ${16}^{-1\mathrm{/}2}$

   c. ${\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^{1\mathrm{/}2}$

   d. ${32}^{1\mathrm{/}5}$

   e. ${27}^{-2\mathrm{/}3}$

   f. ${\left({\displaystyle \frac{4}{25}}\right)}^{3\mathrm{/}2}$

3. a. Calculer $x^{1\mathrm{/}2}$, $x^2$ et $x^{-1}$ pour $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$, puis ranger ces trois nombres et $x$ dans l'ordre croissant.

   b. Reprendre la question précédente avec $x=4$.

   c. Que peut-on conjecturer sur la façon dont $x^{\alpha }$ dépend de $\alpha$, selon que $x$ appartient à $]0,1[$ ou à $]1,+\mathrm{\infty }[$ ? Justifier en écrivant $x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$.

4. En écrivant $x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$, démontrer que la fonction $x\mapsto x^{3\mathrm{/}2}$ est strictement croissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, et que la fonction $x\mapsto x^{-2}$ y est strictement décroissante.

On rappelle que $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ est la distance du réel $a$ à $0$, et que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }$ est la distance entre les réels $x$ et $a$. On rappelle aussi les trois équivalences fondamentales, valables pour tout réel $u$ et tout réel $r⩾0$ :

$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=r⟺(u=r\text{ ou }u=-r),\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }⩽r⟺-r⩽u⩽r,\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }>r⟺(u>r\text{ ou }u<-r)$$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

   a. $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=5$

   b. $\mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }$

   c. $\mathrm{\mid }x+7\mathrm{\mid }=-2$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }⩽3$. Interpréter l'ensemble des solutions en termes de distance et le représenter sur une droite graduée.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\mathrm{\mid }3x-1\mathrm{\mid }>2$, puis interpréter l'ensemble des solutions en termes de distance.

4. Écrire l'intervalle $[1,9]$ sous la forme $\{x\in \mathbb{R};\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽r\}$, où $a$ et $r$ sont deux réels à déterminer.

5. Soit $x\in [2,5]$. Montrer que $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }⩽2$. Cette majoration est-elle atteinte ?

Pour tout réel $x$, la partie entière de $x$, notée $\lfloor x\rfloor$, est l'unique entier relatif $n$ vérifiant

$$n⩽x<n+1$$

On en déduit l'encadrement fondamental : pour tout réel $x$,

$$x-1<\lfloor x\rfloor ⩽x$$

1. Calculer les parties entières suivantes.

   a. $\lfloor \mathrm{3,7}\rfloor$

   b. $\lfloor 5\rfloor$

   c. $\lfloor -\mathrm{2,3}\rfloor$

   d. $\lfloor -7\rfloor$

   e. $\lfloor \mathrm{0,99}\rfloor$

   f. $\lfloor -\mathrm{0,5}\rfloor$

   g. $\lfloor {\displaystyle \frac{7}{2}}\rfloor$

   h. $\lfloor -{\displaystyle \frac{7}{2}}\rfloor$

2. a. Vérifier l'encadrement fondamental pour $x=\mathrm{3,7}$, puis pour $x=-\mathrm{2,3}$.

   b. Démontrer que $\lfloor x\rfloor =x$ si et seulement si $x$ est un entier relatif.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes, puis représenter les ensembles solutions des équations a. et c. sur une droite graduée.

   a. $\lfloor x\rfloor =3$

   b. $\lfloor x\rfloor =-2$

   c. $\lfloor 2x\rfloor =1$

4. Démontrer que, pour tout réel $x$ et tout entier relatif $n$, $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$.

5. Démontrer que, pour tout réel $x$, la quantité $\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor$ vaut $0$ si $x$ est un entier relatif, et $-1$ sinon.

On rappelle que $\ln$ est définie et strictement croissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, que $\exp$ est définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $]0,+\mathrm{\infty }[$, et que ces deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre. De la stricte croissance on déduit les équivalences utilisées en permanence : pour $A>0$ et $B>0$,

$$\ln A=\ln B⟺A=B\text{et}\ln A⩽\ln B⟺A⩽B$$

et, pour tous réels $a$ et $b$, $e^a=e^b⟺a=b$ et $e^a>e^b⟺a>b$. On rappelle enfin que $\ln (AB)=\ln A+\ln B$ et $\ln \left(A^b\right)=b\ln A$ pour $A>0$, $B>0$ et $b$ réel.

Toute résolution commence par la détermination des conditions d'existence.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln (x)+\ln (x-1)=\ln (6)$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-3e^x+2=0$, en posant $X=e^x$.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln (2x-1)⩽1$.

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{-x}>4$.

5. a. Simplifier $\ln (8)-3\ln (2)$.

   b. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2^x=5$.

   c. L'égalité $\ln \left(x^2\right)=2\ln (x)$ est-elle valable pour tout réel $x$ non nul ? Justifier, et corriger la formule si nécessaire.

Toutes les limites de cet exercice s'obtiennent avec les seuls théorèmes du cours : les opérations algébriques sur les limites (somme, produit, quotient), le théorème de la limite d'une fonction composée, et les limites usuelles de $\ln$ et de $\exp$. La méthode est toujours la même. On regarde d'abord ce que donnent les opérations « à vue » : si le théorème s'applique, la limite tombe ; s'il conduit à une forme indéterminée, il faut transformer l'expression avant de conclure. Pour un quotient de deux polynômes, la transformation est toujours la même : on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.

Déterminer les limites suivantes.

On rappelle les quatre limites de croissances comparées du cours, valables pour tous réels $a>0$ et $b>0$ :

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{(\ln x{)}^b}{x^a}}=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^a{\mid \ln x\mid }^b=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^a}{e^x}}=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^a{e}^x=0$$

Elles se résument en une phrase, qu'il faut avoir en tête avant tout calcul : au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent elles-mêmes sur le logarithme. Chacune des limites ci-dessous conduit à une forme indéterminée : la technique consiste à faire apparaître l'un de ces quatre quotients, en factorisant par le terme dominant lorsque l'expression est une somme.

Déterminer les limites suivantes.

La figure ci-dessous représente la courbe ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie et continue sur le segment $[-2,6]$. Quatre points de la courbe sont marqués, et des pointillés facilitent la lecture de leurs coordonnées.

Aucune expression de $f$ n'est donnée, et il n'en faut pas : toutes les réponses s'obtiennent par lecture de ce graphique, puis par application des théorèmes du cours aux informations ainsi lues.

1. Donner l'ensemble de définition de $f$, puis lire les valeurs de $f(-2)$, $f(1)$, $f(4)$ et $f(6)$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur son ensemble de définition, tel qu'on le lit sur la figure.

3. La fonction $f$ admet-elle un maximum global sur $[-2,6]$ ? un minimum global ? Préciser dans chaque cas la valeur de l'extremum et le réel en lequel il est atteint. Que peut-on dire du point de la courbe d'abscisse $4$ ?

4. Justifier que pour tout $x\in [-2,6]$, on a $-2⩽f(x)⩽3$. La fonction $f$ est-elle majorée sur $[-2,6]$ ? minorée ? bornée ?

5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x)=1$ sur $[-2,6]$, puis démontrer ce nombre à l'aide des théorèmes du cours. Reprendre la question avec l'équation $f(x)=\mathrm{2,5}$.

6. Déterminer l'image $f([-2,6])$ du segment $[-2,6]$ par $f$. Quel théorème du cours garantissait, avant tout calcul, que cette image serait un segment ?

On rappelle le résultat du cours qui sert de moteur à tout l'exercice : un réel $a$ est racine d'un polynôme $P$ si et seulement si $P$ se factorise par $(x-a)$, c'est-à-dire s'il existe un polynôme $T$, de degré $\mathrm{deg}P-1$, tel que $P(x)=(x-a)T(x)$ pour tout réel $x$.

Partie A. On pose, pour tout réel $x$, $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$.

1. Chercher une racine entière de $P$ en testant les diviseurs de son terme constant.

2. En déduire un trinôme $T$ tel que $P(x)=(x-1)T(x)$ pour tout réel $x$.

3. Factoriser complètement $P$ en produit de facteurs du premier degré, et donner l'ensemble de ses racines.

4. Dresser le tableau de signes de $P$ sur $\mathbb{R}$, puis résoudre l'inéquation $P(x)⩾0$.

Partie B. On pose, pour tout réel $x$, $Q(x)=2x^3+x^2-8x-4$.

1. Vérifier que $-2$ est racine de $Q$.

2. Factoriser complètement $Q$.

3. Résoudre l'inéquation $Q(x)⩽0$.

On pose, pour tout réel $x$,

$$A(x)=2x^4-3x^3-3x^2+7x-3\text{et}B(x)=x^2-x-1$$

1. Effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$ : déterminer les polynômes $Q$ et $R$ tels que $A=BQ+R$ avec $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$.

2. Vérifier le résultat en développant $B(x)Q(x)+R(x)$.

3. Dresser le tableau de signes de $B$ sur $\mathbb{R}$.

4. On note ${\mathcal{C}}_Q$ et ${\mathcal{C}}_B$ les courbes représentatives des fonctions $x\mapsto Q(x)$ et $x\mapsto B(x)$ dans un repère du plan. Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_Q$ et de ${\mathcal{C}}_B$, et préciser les coordonnées de leurs points communs.

5. Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=3x-5$. Montrer que ${\mathcal{C}}_Q$ est strictement au-dessus de $\mathcal{D}$ en tout point.

On rappelle les relations du cours. Si le trinôme $a{x}^2+bx+c$, avec $a\mathrm{\ne }0$, admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ (éventuellement égales, dans le cas d'une racine double), alors leur somme $S$ et leur produit $P$ valent

$$S=x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\text{et}P=x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$$

Ces deux relations permettent de travailler sur les racines sans les calculer, ce qui est tout l'objet de l'exercice.

1. Retrouver un trinôme à partir de sa somme et de son produit.

   a. Déterminer deux réels dont la somme vaut $9$ et le produit $20$.

   b. Déterminer deux réels dont la somme vaut $-2$ et le produit $-15$.

   c. Existe-t-il deux réels dont la somme vaut $4$ et le produit $5$ ?

2. Pour chacun des trinômes suivants, dire s'il admet des racines réelles et, le cas échéant, déterminer le signe de ces racines, sans les calculer.

   a. $x^2-5x+6$

   b. $2x^2+7x+3$

   c. $3x^2-x-2$

   d. $x^2+x+1$

3. Soit un trinôme $a{x}^2+bx+c$ admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$, de somme $S$ et de produit $P$.

   a. Exprimer $x_1^2+x_2^2$ en fonction de $S$ et de $P$.

   b. À quelle condition la quantité ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$ est-elle définie ? L'exprimer alors en fonction de $S$ et de $P$.

   c. Application : calculer ces deux quantités pour le trinôme $2x^2-6x+1$, sans calculer ses racines.

4. Soit $m$ un réel. Pour quelles valeurs de $m$ le trinôme $x^2-(m+1)x+m$ admet-il deux racines strictement positives ?

On rappelle le lien entre valeur absolue et distance : pour tous réels $x$ et $a$, le nombre $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }$ est la distance entre $x$ et $a$ sur la droite réelle. Il en découle, pour tout réel $r>0$, les deux équivalences

$$\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽r⟺a-r⩽x⩽a+r⟺x\in [a-r,a+r]$$ $$\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩾r⟺(x⩽a-r\text{ ou }x⩾a+r)$$

L'intervalle $[a-r,a+r]$ s'appelle l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$ : son centre est le milieu de ses bornes, et son rayon leur demi-écart. Les mêmes énoncés valent avec des inégalités strictes et des intervalles ouverts.

1. Traduire chacune des conditions suivantes en termes de distance, puis déterminer l'ensemble des réels $x$ qui la vérifient, sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

   a. $\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }<2$

   b. $\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }⩽1$

   c. $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }⩾4$

   d. $\mathrm{\mid }2x-6\mathrm{\mid }⩽5$

2. Réciproquement, écrire chacun des ensembles suivants sous la forme $\{x\in \mathbb{R};\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽r\}$, ou avec une inégalité stricte lorsque l'intervalle est ouvert, en précisant à chaque fois le centre $a$ et le rayon $r$.

   a. $]-1,5[$

   b. $[-7,3]$

   c. $]{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}}[$

   d. $[3,4]$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }=5$ en distinguant trois cas selon la position de $x$. Interpréter le résultat en termes de distances, et représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.

On rappelle la définition des puissances réelles : pour tout réel $x>0$ et tout réel $\alpha$,

$$x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$$

On en déduit les règles de calcul, valables pour $x>0$, $y>0$ et $\alpha ,\beta$ réels :

$$x^{\alpha }\times x^{\beta }=x^{\alpha +\beta },{\left(x^{\alpha }\right)}^{\beta }=x^{\alpha \beta },x^{-\alpha }={\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha }}},\ln \left(x^{\alpha }\right)=\alpha \ln x,(xy{)}^{\alpha }=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$$

Dans tout l'exercice, la dérivation est hors de propos : tous les résultats demandés s'obtiennent à partir de cette définition, du sens de variation de $\ln$ et de $\exp$, et de la composition.

1. Simplifier les nombres et expressions suivants (on suppose $x>0$).

   a. $8^{2\mathrm{/}3}$

   b. ${\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^{-1\mathrm{/}2}$

   c. ${16}^{-3\mathrm{/}4}$

   d. ${\displaystyle \frac{x^{3\mathrm{/}2}\times x^{1\mathrm{/}2}}{x}}$

   e. ${\left(x^2\right)}^{3\mathrm{/}2}$

   f. $\sqrt{x}\times x^{-1\mathrm{/}2}$

2. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\alpha <\beta$. Comparer $x^{\alpha }$ et $x^{\beta }$ dans chacun des trois cas : $0<x<1$, puis $x=1$, puis $x>1$.

3. Ranger dans l'ordre croissant les cinq nombres $x^{1\mathrm{/}3}$, $x^{1\mathrm{/}2}$, $x$, $x^2$, $x^3$ :

   a. lorsque $x\in ]0,1[$ ;

   b. lorsque $x\in ]1,+\mathrm{\infty }[$.

   Contrôler le premier classement avec $x={\displaystyle \frac{1}{64}}$ et le second avec $x=64$.

4. Soit $\alpha$ un réel. Déterminer le sens de variation de la fonction $p_{\alpha }:]0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$, $x\mapsto x^{\alpha }$, selon le signe de $\alpha$. On rédigera la réponse par composition, à partir de l'écriture $x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$.

5. Comparer les deux nombres $2^{\sqrt{3}}$ et $3^{\sqrt{2}}$. On pourra passer au logarithme, puis utiliser les encadrements $\sqrt{3}<{\displaystyle \frac{7}{4}}$ et $\sqrt{2}>{\displaystyle \frac{7}{5}}$, que l'on justifiera.

6. Soit $\alpha$ un réel. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }}$ et ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{\alpha }}$ selon le signe de $\alpha$.

On rappelle les règles du cours, les seules autorisées ici (la dérivation n'est pas au programme de ce chapitre).

• Composition. Si $u$ est monotone sur un intervalle $I$, à valeurs dans un intervalle $J$, et si $v$ est monotone sur $J$, alors $v\circ u$ est monotone sur $I$, avec la règle des signes : croissante $\circ$ croissante $=$ croissante, croissante $\circ$ décroissante $=$ décroissante, décroissante $\circ$ croissante $=$ décroissante, décroissante $\circ$ décroissante $=$ croissante. Les énoncés restent valables avec « strictement ».
• Somme. La somme de deux fonctions croissantes sur $I$ est croissante sur $I$ (de même pour décroissantes). Ajouter une constante ne change pas le sens de variation.
• Produit par un réel. Si $\lambda >0$, la fonction $\lambda f$ a le même sens de variation que $f$ ; si $\lambda <0$, elle a le sens contraire.
• Inverse. Si $f$ est monotone sur $I$ et y garde un signe strict constant (c'est-à-dire $f>0$ sur $I$, ou $f<0$ sur $I$), alors ${\displaystyle \frac{1}{f}}$ est monotone sur $I$, de sens de variation contraire à celui de $f$.
• Définitions. Une fonction $f$ est majorée sur $I$ s'il existe un réel $M$ tel que $f(x)⩽M$ pour tout $x\in I$, minorée s'il existe $m$ tel que $f(x)⩾m$ pour tout $x\in I$, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

1. Déterminer le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, en n'utilisant que les variations des fonctions usuelles et les règles ci-dessus. Le raisonnement doit citer la règle employée à chaque étape.

   a. $f_1(x)=\ln (x^2+1)$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$

   b. $f_2(x)=e^{-x}+3$ sur $\mathbb{R}$

   c. $f_3(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+2}}}$ sur $]-2,+\mathrm{\infty }[$

   d. $f_4(x)=5-{\displaystyle \frac{2}{x+1}}$ sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$

   e. $f_5(x)={\displaystyle \frac{1}{\ln x}}$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$

2. On considère les deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par

   $$g(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}\text{et}h(x)={\displaystyle \frac{3x^2+1}{x^2+1}}$$

   a. Montrer que, pour tout réel $x$, $2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽x^2+1$. En déduire que $g$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et donner un encadrement explicite de $g(x)$.

   b. Vérifier que, pour tout réel $x$, $h(x)=3-{\displaystyle \frac{2}{x^2+1}}$. En déduire que $h$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et donner un encadrement explicite de $h(x)$.

   c. Ces deux encadrements sont-ils optimaux, c'est-à-dire les bornes sont-elles atteintes ?

3. Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   a. Soient $a$ et $b$ deux réels de $]0,+\mathrm{\infty }[$ tels que $a<b$. Montrer que

   $$f(b)-f(a)={\displaystyle \frac{(b-a)(ab-1)}{ab}}$$

   b. En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0,1]$, puis sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

   c. Expliquer pourquoi les règles de la question 1 ne permettaient pas de conclure directement.

Les théorèmes d'opérations sur les limites laissent quatre situations non conclues, appelées formes indéterminées : ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$, ${\displaystyle \frac{0}{0}}$, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ et $0\times \mathrm{\infty }$. Rencontrer une forme indéterminée ne signifie pas que la limite n'existe pas : cela signifie que l'écriture proposée ne permet pas de conclure, et qu'il faut transformer l'expression.

On utilisera librement les résultats suivants du cours.

• Les limites usuelles ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x}}=1}$ et ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}=1}$, admises.
• Le théorème de composition des limites.
• Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, c'est-à-dire $\sqrt{x^2}=x$ si $x⩾0$ et $\sqrt{x^2}=-x$ si $x⩽0$.
• La quantité conjuguée : pour $A⩾0$ et $B⩾0$ non tous deux nuls, $(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$.

Pour chacune des huit limites suivantes, préciser la forme indéterminée rencontrée, nommer la technique employée, puis calculer la limite. On précisera à chaque fois l'intervalle sur lequel se place l'étude.

On rappelle les propriétés utiles.

• Pour tout réel $x$, $e^x>0$, $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2$ et $e^{-x}={\displaystyle \frac{1}{e^x}}$.
• Pour tout réel $x$ et tout réel $X>0$ : $e^x=X⟺x=\ln X$.
• Pour tout réel $X$ et tout réel $x>0$ : $\ln x=X⟺x=e^X$.
• Un trinôme $a{X}^2+bX+c$ de coefficient dominant $a>0$ et de discriminant $\mathrm{\Delta }>0$ est strictement négatif entre ses deux racines, strictement positif à l'extérieur, et nul en ses racines.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes, en posant $X=e^x$.

   a. $e^{2x}-5e^x+6=0$

   b. $e^{2x}-e^x-6=0$

   c. $e^x+8e^{-x}=6$

   d. $e^{2x}+5e^x+6=0$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x}-4e^x+3⩽0$, et donner l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle.

3. Résoudre dans $]0,+\mathrm{\infty }[$ l'équation ${(\ln x)}^2-\ln x-2=0$, en posant $X=\ln x$.

4. Synthèse. À la question 1, certaines racines du trinôme ont dû être rejetées ; à la question 3, aucune ne l'a été, bien que l'une d'elles soit négative. Expliquer précisément d'où vient cette différence, et énoncer la méthode générale de résolution par changement de variable.

On rappelle les définitions et les conventions du cours.

• Soit $a$ un réel. Si ${\displaystyle \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)}$ ou ${\displaystyle \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)}$ vaut $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$, la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.
• Si ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }}$ avec $\mathrm{\ell }$ fini, la droite d'équation $y=\mathrm{\ell }$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\mathrm{\infty }$ (même définition en $-\mathrm{\infty }$).
• Quand le quotient ${\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}$ a un numérateur de limite non nulle et un dénominateur de limite nulle, la limite est infinie, et son signe est donné par la règle des signes, à condition de connaître le signe du dénominateur au voisinage du point considéré. C'est là que la distinction entre limite à gauche et limite à droite devient indispensable.
• Le programme impose de travailler sur un intervalle : quand un ensemble de définition est une réunion de deux intervalles, on annonce explicitement sur lequel des deux on se place.

1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}}$. Déterminer son ensemble de définition, l'écrire comme une réunion d'intervalles, calculer les limites de $f$ à gauche et à droite en $3$, et en déduire l'existence d'une asymptote verticale.

2. Mêmes questions pour la fonction $g$ définie par $g(x)={\displaystyle \frac{x}{(x-1{)}^2}}$, en $1$. Que constate-t-on par rapport à la question précédente, et comment l'expliquer ? Déterminer également les limites de $g$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.

3. Mêmes questions pour la fonction $h$ définie par $h(x)=\ln (x-2)$, en $2$ : on commencera par l'ensemble de définition, qui décide à lui seul des limites latérales que l'on peut calculer. Déterminer aussi la limite de $h$ en $+\mathrm{\infty }$.

4. Soit $q$ la fonction définie par $q(x)={\displaystyle \frac{4x^2-1}{x^2+3}}$. Justifier que $q$ est définie sur $\mathbb{R}$, déterminer ses limites en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$, et en déduire l'existence d'une asymptote horizontale. La courbe de $q$ admet-elle une asymptote verticale ?

5. Synthèse. Soit $k$ la fonction définie par $k(x)={\displaystyle \frac{3x-1}{x+2}}$.

   a. Déterminer l'ensemble de définition de $k$, puis toutes les asymptotes de sa courbe représentative.

   b. Vérifier que, pour tout $x$ de l'ensemble de définition, $k(x)-3={\displaystyle \frac{-7}{x+2}}$. En déduire la position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale, sur chacun des deux intervalles d'étude.

On rappelle les deux définitions du cours.

• Continuité en un point. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0\in I$. La fonction $f$ est continue en $x_0$ lorsque ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)}$. Il y a donc trois choses à vérifier : que $f(x_0)$ existe, que la limite existe et est finie, et que les deux nombres sont égaux.
• Prolongement par continuité. Soit $f$ définie sur $I\setminus \{x_0\}$, où $I$ est un intervalle et $x_0\in I$. Si $f$ admet en $x_0$ une limite finie $\mathrm{\ell }$, alors la fonction $\tilde{f}$ définie sur $I$ par $\tilde{f}(x)=f(x)$ pour $x\mathrm{\ne }{x}_0$ et $\tilde{f}(x_0)=\mathrm{\ell }$ est continue en $x_0$ : on l'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $x_0$. Si $f$ n'a pas de limite finie en $x_0$, un tel prolongement n'existe pas.

On utilisera librement les croissances comparées, en particulier ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^a{\mid \ln x\mid }^b=0}$ pour $a>0$ et $b>0$, ainsi que la limite usuelle ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}=1}$.

1. Étudier la continuité au point indiqué de chacune des deux fonctions suivantes.

   a. $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3}}$ si $x\mathrm{\ne }3$, et $f(3)=6$ ; au point $x_0=3$.

   b. $g$ définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}$ si $x\mathrm{\ne }4$, et $g(4)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; au point $x_0=4$.

2. Montrer que chacune des trois fonctions suivantes se prolonge par continuité en $0$, et écrire explicitement la fonction prolongée ${\tilde{f}}_i$, en précisant son ensemble de définition.

   a. $f_1(x)=x\ln x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$

   b. $f_2(x)={\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}$ sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

   c. $f_3(x)={\displaystyle \frac{x^2-3x}{x}}$ sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

3. Soit $f_4$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par $f_4(x)={\displaystyle \frac{x+2}{x}}$. Montrer que $f_4$ ne se prolonge pas par continuité en $0$.

4. Soit $f_5$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ par $f_5(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Montrer que $f_5$ ne se prolonge pas non plus par continuité en $0$, et expliquer en quoi la situation diffère de celle de la question 3.

On rappelle les résultats du cours utiles ici.

• Critère de raccord. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ par deux expressions différentes de part et d'autre d'un point $x_0$ intérieur à $I$. La fonction $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si les deux limites latérales ${\displaystyle \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)}$ existent, sont finies et sont toutes deux égales à $f(x_0)$.
• Continuité des fonctions usuelles. Les fonctions polynomiales, la fonction valeur absolue, $\exp$ et $\ln$ sont continues sur leur ensemble de définition ; un quotient de fonctions continues est continu sur tout intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ; sommes, produits et composées de fonctions continues sont continues.
• Valeur absolue. Pour tout réel $X$ : $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=X$ si $X⩾0$, et $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=-X$ si $X⩽0$.

1. Soit $a$ un réel. On définit la fonction $f_a$ sur $\mathbb{R}$ par

   $$f_a(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x-2}}& \text{si }x<2\\ ax-1& \text{si }x⩾2\end{array}$$

   a. Simplifier l'expression de $f_a(x)$ pour $x<2$.

   b. Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $f_a$ est continue en $2$.

   c. Pour cette valeur de $a$, justifier que $f_a$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x\mid x-1\mid +2$.

   a. Écrire $g$ sans valeur absolue, sous la forme d'une fonction définie par morceaux sur $]-\mathrm{\infty },1[$ et sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

   b. Étudier la continuité de $g$ au point de raccord $x_0=1$.

3. Soit $a$ un réel. On définit la fonction $h_a$ sur $\mathbb{R}$ par

   $$h_a(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a}{x-1}}& \text{si }x<1\\ x+a& \text{si }x⩾1\end{array}$$

   Montrer qu'aucune valeur du réel $a$ ne rend $h_a$ continue en $1$. On distinguera les cas $a\mathrm{\ne }0$ et $a=0$.

On rappelle l'énoncé du théorème des valeurs intermédiaires (TVI), admis dans le cours.

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.

On rappelle également que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment, et que le théorème ne dit rien de l'unicité de $c$ : celle-ci s'obtient séparément, par la stricte monotonie de $f$. La dérivation n'étant pas au programme de ce chapitre, les sens de variation seront justifiés par les variations des fonctions usuelles et les règles d'opérations.

Partie A. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+3x-5$.

1. Justifier que $f$ est continue sur le segment $[1,2]$.
2. Calculer $f(1)$ et $f(2)$. En déduire, en appliquant le TVI et en vérifiant explicitement ses hypothèses, que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]1,2[$.
3. Montrer, sans utiliser de dérivée, que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. En déduire que la solution précédente est unique ; on la note $\alpha$.
4. Sachant que ${\mathrm{1,1}}^3=\mathrm{1,331}$ et ${\mathrm{1,2}}^3=\mathrm{1,728}$, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $\mathrm{0,1}$.

Partie B. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^x+x-3$.

5. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ dans le segment $[0,1]$.
6. On donne $e^{\mathrm{0,7}}\approx \mathrm{2,0138}$ et $e^{\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{2,2255}$. En déduire un encadrement de $\beta$ d'amplitude $\mathrm{0,1}$.

Partie C. On note $\lfloor x\rfloor$ la partie entière du réel $x$, c'est-à-dire l'unique entier relatif $n$ tel que $n⩽x<n+1$. Soit $h$ la fonction définie sur le segment $[0,2]$ par $h(x)=\lfloor x\rfloor$.

7. Calculer $h(0)$ et $h(2)$, et vérifier que ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ est compris entre ces deux valeurs.
8. Montrer que l'équation $h(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ n'a pourtant aucune solution dans $[0,2]$.
9. Quelle hypothèse du TVI n'est pas vérifiée ? Le démontrer précisément.

Tout cet exercice repose sur un unique résultat du cours, admis ici : si un polynôme $P$ de ${\mathbb{R}}_n[x]$ admet au moins $n+1$ racines deux à deux distinctes, alors $P$ est le polynôme nul, c'est-à-dire que tous ses coefficients sont nuls. Aucune question ne demande de le démontrer : on l'applique.

1. Un polynôme imposé en trois points.

   a. Déterminer un polynôme $P$ de ${\mathbb{R}}_2[x]$ tel que $P(0)=1$, $P(1)=4$ et $P(2)=11$.

   b. Démontrer qu'il n'en existe pas d'autre dans ${\mathbb{R}}_2[x]$.

2. Le cas général. Soit $n\in \mathbb{N}$. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de ${\mathbb{R}}_n[x]$ et soient $x_0,x_1,\dots ,x_n$ des réels deux à deux distincts tels que $P(x_i)=Q(x_i)$ pour tout entier $i$ compris entre $0$ et $n$. Démontrer que $P=Q$.

3. Identification des coefficients. Soit $n\in \mathbb{N}$. On considère deux polynômes de ${\mathbb{R}}_n[x]$

   $$P(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k\text{et}Q(x)=\sum _{k=0}^n{b}_k{x}^k$$

   et on suppose que $P(x)=Q(x)$ pour tout réel $x$.

   a. Démontrer que $a_k=b_k$ pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$.

   b. Application : déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$,

   $$a(x-1{)}^2+b(x-1)+c=2x^2+x+1$$

4. Une équation fonctionnelle. Déterminer tous les polynômes $P$ de ${\mathbb{R}}_3[x]$ tels que

   $$P(x+1)-P(x)=6x\text{pour tout r}\acute{\text{e}}\text{el }x$$

   On vérifiera que les polynômes trouvés conviennent effectivement.

On rappelle deux résultats du cours, utilisés dans tout l'exercice.

Encadrement fondamental de la partie entière. Pour tout réel $x$,

$$x-1<\lfloor x\rfloor ⩽x$$

Théorème d'encadrement. Si trois fonctions $u$, $f$ et $v$ vérifient $u(x)⩽f(x)⩽v(x)$ pour tout $x$ d'un intervalle, et si $u$ et $v$ ont la même limite finie $\mathrm{\ell }$ à une borne de cet intervalle, alors $f$ a également pour limite $\mathrm{\ell }$ en cette borne.

L'objectif est de calculer des limites de quotients faisant intervenir la partie entière, qui n'est donnée par aucune formule algébrique : l'encadrement remplace le calcul.

1. Échauffement. Donner les valeurs de $\lfloor \mathrm{2,7}\rfloor$ et de $\lfloor -\mathrm{1,3}\rfloor$, puis vérifier sur ces deux exemples l'encadrement fondamental.

2. On étudie la fonction $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{\lfloor x\rfloor }{x}}$ sur l'intervalle $]0,+\mathrm{\infty }[$. Encadrer $f(x)$ à l'aide de l'encadrement fondamental, puis déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.

3. On étudie maintenant la même expression sur l'intervalle $]-\mathrm{\infty },0[$. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\lfloor x\rfloor }{x}}}$. On prendra garde au sens des inégalités.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\lfloor {\displaystyle \frac{1}{x}}\rfloor }$.

5. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\lfloor 3x\rfloor }{x}}}$.

6. Pour $x>0$, on pose $S(x)=\lfloor x\rfloor +\lfloor 2x\rfloor +\lfloor 3x\rfloor$.

   a. Démontrer que $6x-3<S(x)⩽6x$ pour tout $x>0$.

   b. En déduire ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S(x)}{x}}}$.

7. Un piège. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\lfloor x\rfloor }{x}}}$, et expliquer pourquoi l'encadrement de la question 2 ne permet pas de conclure ici.

On rappelle les deux inégalités du cours, admises :

$$\ln x⩽x-1\text{ pour tout }x>0,\text{et}{e}^x⩾1+x\text{ pour tout r}\acute{\text{e}}\text{el }x$$

Dans la première, l'égalité n'a lieu que pour $x=1$ ; dans la seconde, seulement pour $x=0$.

On note ${\mathcal{C}}_{\ln }$ la courbe de la fonction $\ln$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, ${\mathcal{C}}_{\exp }$ celle de la fonction $\exp$ sur $\mathbb{R}$, et $\mathrm{\Delta }$ la droite d'équation $y=x$. Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On donne $\ln 2\approx \mathrm{0,693}$, $\ln 3\approx \mathrm{1,099}$ et $e\approx \mathrm{2,718}$.

1. La chaîne d'inégalités.

   a. Démontrer que, pour tout $x>0$, $\ln x⩽x-1⩽e^x-1$.

   b. En déduire que $\ln x<x<e^x$ pour tout $x>0$, et interpréter graphiquement.

   c. Démontrer que l'inégalité $x<e^x$ est en fait valable pour tout réel $x$.

2. Positions relatives d'une courbe et d'une droite. On note $D$ la droite d'équation $y=x-1$ et $D^{\mathrm{\prime }}$ la droite d'équation $y=x+1$.

   a. Déterminer les points communs à ${\mathcal{C}}_{\ln }$ et à $D$, puis préciser la position de ${\mathcal{C}}_{\ln }$ par rapport à $D$.

   b. Faire le même travail pour ${\mathcal{C}}_{\exp }$ et $D^{\mathrm{\prime }}$.

3. Régionnement du plan. On considère la partie du plan

   $$\mathcal{E}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;1⩽x⩽3\text{ et }\ln x⩽y⩽x-1\}$$

   a. Justifier que, pour chaque $x$ de $[1,3]$, l'ensemble des $y$ convenables n'est pas vide, et décrire $\mathcal{E}$ en français. Que se passe-t-il pour $x=1$ ?

   b. Les points $M(2;\mathrm{0,5})$ et $N(2;\mathrm{0,8})$ appartiennent-ils à $\mathcal{E}$ ?

   c. On considère maintenant la bande $\mathcal{B}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\text{ et }\ln x⩽y⩽e^x\}$. Démontrer que la droite $\mathrm{\Delta }$, privée de sa partie correspondant à $x⩽0$, est entièrement contenue dans $\mathcal{B}$.

4. Une inégalité utile pour les petits taux.

   a. Démontrer que $\ln (1+t)⩽t$ pour tout réel $t>-1$.

   b. En appliquant l'inégalité admise au réel ${\displaystyle \frac{1}{1+t}}$, démontrer que $\ln (1+t)⩾{\displaystyle \frac{t}{1+t}}$ pour tout réel $t>-1$.

   c. En déduire un encadrement de $\ln (\mathrm{1,1})$ par deux fractions, puis une valeur approchée sous forme décimale.

Une expression de la forme $u(x{)}^{v(x)}$, où l'exposant n'est pas un entier fixé, n'a de sens que par l'intermédiaire du logarithme et de l'exponentielle : pour $a>0$ et $b$ réel, on pose par définition

$$a^b=e^{b\ln a}$$

On étudie dans cet exercice les trois fonctions

$$f(x)=x^x,g(x)=x^{1\mathrm{/}x},h(x)={(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x$$

On rappelle les résultats du cours utilisables : les croissances comparées, la limite ${\displaystyle \underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (1+t)}{t}}=1}$, la continuité de la fonction exponentielle et le théorème sur la limite d'une composée.

1. Préliminaires.

   a. Expliquer pourquoi la condition $a>0$ est indispensable dans la définition ci-dessus, et pourquoi l'expression $(-2{)}^{1\mathrm{/}2}$ n'a pas de sens.

   b. Justifier que les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ sont bien définies sur l'intervalle $]0,+\mathrm{\infty }[$, et écrire chacune sous la forme $e^{\cdots }$.

2. Quelques valeurs exactes. Calculer, sous forme exacte et simplifiée :

   a. $f(4)$

   b. $g(4)$

   c. $h(4)$

   d. $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

   e. $g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

   f. $h\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

3. Étude de $f:x\mapsto x^x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

   a. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)}$. La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ?

   b. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.

4. Étude de $g:x\mapsto x^{1\mathrm{/}x}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

   a. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)}$.

   b. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)}$.

5. Étude de $h:x\mapsto {(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

   a. En posant $t={\displaystyle \frac{1}{x}}$, déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}$, puis ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }h(x)}$.

   b. Démontrer que $x\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})=x\ln (1+x)-x\ln x$ pour tout $x>0$, puis en déduire ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }h(x)}$.