Devoir surveillé — Suites arithmétiques et fonctions affines

La suite $(u_n)$ est définie par son premier terme $u_0=12$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation :

$$u_{n+1}=u_n+7$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. ($1$ pt)
2. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison. ($1$ pt)
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. ($1$ pt)
4. Calculer $u_{30}$. ($\mathrm{0,5}$ pt)
5. Donner le sens de variation de la suite $(u_n)$, en justifiant la réponse. ($\mathrm{0,5}$ pt)
6. Existe-t-il un entier naturel $n$ tel que $u_n=180$ ? Justifier par un calcul. ($1$ pt)

Un loueur de vélos facture chaque location de la façon suivante : un forfait fixe de $3$ €, auquel s'ajoutent $\mathrm{1,50}$ € par heure de location. Une location peut durer une durée quelconque, pas forcément un nombre entier d'heures.

On note $f(x)$ le prix, en euros, d'une location de $x$ heures. On a donc, pour tout $x⩾0$ :

$$f(x)=\mathrm{1,5}x+3$$

1. Calculer le prix payé pour une location de $2$ heures, puis pour une location de $3$ h $30$ min. ($\mathrm{1,5}$ pt)
2. Quelle est la nature de la fonction $f$ ? Donner son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine, puis interpréter chacun de ces deux nombres dans le contexte de l'exercice. ($\mathrm{1,5}$ pt)
3. Un client a payé $12$ € : combien de temps a duré sa location ? Justifier par la résolution d'une équation. ($1$ pt)
4. La grandeur « durée de location » est-elle discrète ou continue ? Expliquer pourquoi on a choisi de modéliser cette situation par une fonction plutôt que par une suite. ($1$ pt)

Zoé ouvre un livret d'épargne avec un dépôt initial de $1200$ €. Elle décide ensuite d'y déposer $30$ € à la fin de chaque mois. On note $c(n)$ le montant, en euros, présent sur le livret au bout de $n$ mois. Ainsi $c(0)=1200$.

1. Donner les valeurs de $c(0)$, $c(1)$ et $c(2)$. ($1$ pt)
2. Exprimer $c(n+1)$ en fonction de $c(n)$. En déduire la nature de la suite $(c(n))$ en précisant sa raison. ($\mathrm{1,5}$ pt)
3. Exprimer $c(n)$ en fonction de $n$. ($1$ pt)
4. Quel montant y a-t-il sur le livret au bout d'un an ? ($\mathrm{0,5}$ pt)
5. Zoé souhaite disposer d'au moins $1500$ € sur son livret. Traduire cette condition par une inéquation d'inconnue $n$, la résoudre, puis conclure par une phrase. ($\mathrm{1,5}$ pt)
6. La grandeur modélisée par la suite $(c(n))$ est-elle discrète ou continue ? Justifier. ($\mathrm{0,5}$ pt)

On a représenté graphiquement ci-dessous les cinq premiers termes d'une suite $(w_n)$ : chaque point a pour coordonnées $(n;w_n)$.

1. Lire graphiquement $w_0$ et $w_2$. ($1$ pt)
2. Expliquer pourquoi ces points suggèrent que la suite $(w_n)$ est arithmétique, et donner sa raison. ($1$ pt)
3. Exprimer $w_n$ en fonction de $n$, puis donner le sens de variation de la suite $(w_n)$ en justifiant. ($1$ pt)
4. À partir de quel rang $n$ a-t-on $w_n<0$ ? Justifier par un calcul. ($1$ pt)