Exercices — Information chiffrée : statistique bivariée

Un lycée compte $600$ élèves. L'intendance étudie le régime des élèves (demi-pensionnaire ou externe) selon leur niveau de classe (seconde, première ou terminale). Le tableau croisé d'effectifs ci-dessous, partiellement rempli, résume la situation.

1. Dans cette étude, quelle est la population ? Quels sont les deux caractères observés sur chaque individu ?

2. Que représente le nombre $150$ ? Et le nombre $380$ ? Répondre par une phrase pour chacun.

3. Recopier et compléter le tableau, en expliquant par un calcul comment on obtient chacune des quatre cases manquantes.

4. Répondre par lecture du tableau complété :

   a. Combien d'élèves de terminale sont demi-pensionnaires ?

   b. Combien le lycée compte-t-il d'élèves externes en tout ?

5. Dans quel niveau trouve-t-on le plus d'élèves externes ? Un élève affirme : « C'est normal, c'est le niveau qui compte le plus d'élèves. » A-t-il raison ? Justifier à l'aide du tableau.

Dans le cadre d'une enquête de santé publique, on a interrogé $500$ adultes d'une même ville. Pour chaque personne, on a relevé deux caractères : pratique-t-elle une activité physique régulière (au moins $30$ minutes par jour) ? Se déclare-t-elle en bonne santé ? Les résultats sont regroupés dans le tableau croisé suivant.

1. Calculer la fréquence marginale des personnes qui pratiquent une activité physique régulière, puis celle des personnes qui se déclarent en bonne santé. Exprimer chaque fréquence en pourcentage et l'interpréter par une phrase.

2. Parmi les personnes qui pratiquent une activité physique régulière, quelle est la fréquence de celles qui se déclarent en bonne santé ? Même question parmi les personnes qui ne pratiquent pas d'activité régulière. Comparer ces deux fréquences conditionnelles par une phrase.

3. À partir de cette enquête, un site internet titre : « $80\mathrm{\%}$ des personnes en bonne santé pratiquent une activité physique régulière. » Ce titre est-il correct ? Justifier par un calcul et, si nécessaire, proposer un titre exact.

4. Ces données suffisent-elles à affirmer que l'activité physique régulière est la cause de la bonne santé ? Répondre en quelques phrases.

Une enquête sur la pratique sportive a été menée auprès des $300$ élèves de seconde d'un lycée : $150$ filles et $150$ garçons. Chaque élève a déclaré une pratique sportive « régulière », « occasionnelle » ou « aucune ». Les résultats sont représentés par le diagramme en barres groupées ci-dessous.

On sait que les six effectifs représentés sont, dans le désordre : $30$, $36$, $42$, $54$, $66$ et $72$.

1. À l'aide du quadrillage, associer chaque barre du diagramme à son effectif. On expliquera par exemple comment distinguer les deux barres de la catégorie « Régulière ».

2. Reconstruire le tableau croisé d'effectifs de l'enquête, avec sa ligne et sa colonne « Total ». Vérifier que l'on retrouve bien $150$ filles, $150$ garçons et $300$ élèves.

3. Calculer, en pourcentage :

   a. la fréquence marginale des élèves sans aucune pratique sportive ;

   b. parmi les filles, la fréquence de la pratique régulière ;

   c. parmi les garçons, la fréquence de la pratique régulière.

4. Un journaliste du lycée conclut : « Les garçons sont plus sportifs que les filles. » À l'aide du diagramme ou du tableau, expliquer pourquoi cette conclusion mérite d'être nuancée.

On a demandé aux élèves de seconde et de terminale d'un lycée leur principal moyen de transport pour venir en cours : « bus », « voiture » ou « vélo ou à pied ». Les réponses des $120$ élèves de seconde et des $90$ élèves de terminale sont représentées par les deux diagrammes circulaires ci-dessous, sur lesquels les effectifs ne sont pas indiqués.

1. Sur le diagramme des élèves de seconde, le secteur « bus » occupe la moitié du disque, et les secteurs « voiture » et « vélo ou à pied » un quart chacun. En déduire l'effectif correspondant à chaque moyen de transport chez les élèves de seconde.

2. Pour les élèves de terminale, on dispose du tableau d'effectifs suivant :

   Moyen de transport	Bus	Voiture	Vélo ou à pied
   Effectif	$36$	$36$	$18$

   a. Calculer la proportion, en pourcentage, de chaque moyen de transport chez les élèves de terminale.

   b. Expliquer pourquoi ces proportions sont cohérentes avec le diagramme des terminales.

3. Calculer l'angle du secteur « vélo ou à pied » du diagramme des terminales, puis celui du secteur « bus » du diagramme des secondes.

4. Un élève affirme : « Le secteur "voiture" des terminales est bien plus grand que celui des secondes : il y a donc beaucoup plus d'élèves de terminale que de seconde qui viennent en voiture. » Que penser de cette affirmation ? Justifier en comparant à la fois les proportions et les effectifs.

5. Dans quel niveau la proportion d'élèves venant à vélo ou à pied est-elle la plus élevée ? Écrire une phrase de comparaison qui précise bien les deux proportions.

Dans le cadre d'une étude sur le sommeil, huit adolescents ont noté leur temps d'écran quotidien $x$ (en heures par jour) et leur durée moyenne de sommeil $y$ (en heures par nuit). Voici les résultats :

1. On veut représenter cette série par un nuage de points. Proposer un repère adapté : quelle grandeur placer en abscisse, quelle grandeur en ordonnée, et quelles graduations choisir sur chaque axe ? On expliquera pourquoi il est inutile de faire commencer l'axe des ordonnées à $0$.

2. Construire le nuage de points sur papier quadrillé. Combien de points le nuage compte-t-il ?

3. Deux adolescents de l'étude passent exactement $2$ heures par jour devant un écran. Comment cela se traduit-il sur le nuage ?

4. Décrire la tendance du nuage : que semble-t-il se passer pour la durée de sommeil lorsque le temps d'écran augmente ?

5. Une élève conclut : « Ce graphique prouve que les écrans font perdre du sommeil. » Expliquer en quelques phrases pourquoi cette conclusion est trop rapide.

Huit stations météo d'un même massif montagneux ont relevé leur température moyenne annuelle. Le tableau ci-dessous donne, pour chaque station, son altitude $x$ (en mètres) et sa température moyenne annuelle $y$ (en °C).

Le nuage de points correspondant est représenté ci-dessous.

1. Dans cette série, les deux caractères observés sont-ils qualitatifs ou quantitatifs ? Expliquer pourquoi un nuage de points est ici mieux adapté qu'un tableau croisé d'effectifs.

2. Répondre par lecture graphique :

   a. Quelle est la température moyenne annuelle de la station située à $800$ m d'altitude ?

   b. À quelle altitude se trouve la station dont la température moyenne annuelle est $\mathrm{5,8}$ °C ?

3. Décrire la tendance du nuage par une phrase : que se passe-t-il pour la température lorsque l'altitude augmente ?

4. De combien la température moyenne baisse-t-elle, environ, quand on monte de $400$ m ? On appuiera la réponse sur au moins deux exemples pris dans le tableau.

5. Un bulletin météo affirme : « En montagne, on perd environ $6$ °C chaque fois que l'on s'élève de $1000$ m. » Ces données confirment-elles cet ordre de grandeur ? Justifier par un calcul.

Le propriétaire d'un panneau solaire a relevé, pendant six journées, la durée d'ensoleillement $x$ (en heures) et l'énergie électrique produite par le panneau $y$ (en kWh).

1. Calculer la moyenne $\bar{x}$ des durées d'ensoleillement, en détaillant le calcul.

2. Calculer la moyenne $\bar{y}$ des productions, en détaillant le calcul.

3. En déduire les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points associé à cette série.

4. Le point $G$ correspond-il à l'une des six journées relevées ? Justifier.

5. Interpréter les coordonnées de $G$ par une phrase dans le contexte de l'exercice.

Une agence immobilière étudie sept appartements comparables d'une même ville. Pour chacun, elle relève la distance au centre-ville $x$ (en km) et le prix de vente au ${\text{m}}^2$ $y$ (en milliers d'euros).

Le nuage de points correspondant est représenté ci-dessous.

1. Décrire la tendance du nuage, puis l'interpréter par une phrase dans le contexte de l'exercice.

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage, en détaillant les deux calculs de moyenne.

3. Reproduire le graphique et y placer le point $G$.

4. Que remarque-t-on sur la position de $G$ par rapport aux points du nuage ? Cette situation se produit-elle pour tous les nuages de points ? Justifier, par exemple à l'aide d'un nuage de deux points de son choix.

5. a. Exprimer en euros le prix moyen au ${\text{m}}^2$ des sept appartements, puis interpréter les coordonnées de $G$ par une phrase.

   b. Une famille dispose d'un budget maximal de $3000$ € par ${\text{m}}^2$. D'après cette série, quels appartements peut-elle envisager ?

Une salle de sport a relevé son nombre d'abonnés chaque année, de $2019$ à $2025$. On note $x$ le rang de l'année (l'année $2019$ correspond à $x=0$) et $y$ le nombre d'abonnés.

On a représenté le nuage de points ci-dessous, puis tracé au jugé (à la règle, « à l'œil ») une droite d'ajustement $\mathcal{D}$. Cette droite passe par les points $A(0;210)$ et $B(5;425)$.

1. Vérifier sur le graphique que la droite $\mathcal{D}$ passe près de tous les points du nuage. Pourquoi peut-on dire qu'un ajustement affine est pertinent ici ?

2. À l'aide des points $A$ et $B$, calculer le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$, puis donner son ordonnée à l'origine. En déduire l'équation réduite de $\mathcal{D}$.

3. Interpréter le coefficient directeur dans le contexte de l'exercice.

4. En utilisant l'équation de $\mathcal{D}$, estimer le nombre d'abonnés de la salle en $2027$.

5. Cette estimation est-elle une interpolation ou une extrapolation ? Est-elle fiable ? Justifier.

On a relevé la taille d'un enfant à chaque anniversaire, de ses $2$ ans à ses $9$ ans. On note $x$ l'âge (en années) et $y$ la taille (en cm).

Pour ajuster ce nuage par une droite, on utilise la méthode de Mayer : on partage le nuage, rangé dans l'ordre des $x$ croissants, en deux moitiés, on calcule le point moyen de chaque moitié, puis on trace la droite passant par ces deux points.

1. On partage le nuage en deux moitiés : les $4$ premiers points d'un côté, les $4$ derniers de l'autre. Calculer les coordonnées du point moyen $G_1$ des $4$ premiers points, puis celles du point moyen $G_2$ des $4$ derniers points.

2. Déterminer l'équation réduite de la droite $(G_1{G}_2)$, appelée droite de Mayer du nuage.

3. Interpréter le coefficient directeur de cette droite dans le contexte de l'exercice.

4. À l'aide de ce modèle, estimer la taille de l'enfant à $10$ ans.

5. Que prévoit ce modèle pour la taille de cette personne à $30$ ans ? Expliquer pourquoi ce résultat est absurde et quel enseignement on peut en tirer sur l'utilisation d'un ajustement affine.

L'observatoire de Mauna Loa (Hawaï) mesure depuis des décennies la concentration de dioxyde de carbone (CO${}_2$) dans l'atmosphère, en parties par million (ppm). Le tableau donne quelques relevés ; on note $x$ le nombre d'années écoulées depuis $2000$ et $y$ la concentration en ppm.

On saisit ces données dans un tableur et on demande une courbe de tendance linéaire. Le tableur affiche la droite d'équation $y=\mathrm{2,28}x+\mathrm{368,5}$, appelée droite des moindres carrés.

1. Que représente cette droite pour le nuage de points ? Faut-il connaître une formule pour l'obtenir ?

2. Interpréter le coefficient directeur de cette droite dans le contexte de l'exercice.

3. Aucun relevé n'a été fait en $2012$. Estimer la concentration de CO${}_2$ cette année-là à l'aide du modèle.

4. Estimer de la même façon la concentration de CO${}_2$ en $2035$.

5. Parmi les deux estimations précédentes, dire laquelle est une interpolation et laquelle est une extrapolation. Laquelle est la plus fiable ? Justifier.

6. Question d'ouverture. Que suppose-t-on sur les émissions mondiales de CO${}_2$ lorsqu'on utilise cette extrapolation jusqu'en $2035$ ?

La population d'une commune est relevée à chaque recensement. On note $x$ le nombre d'années écoulées depuis $2006$ et $y$ le nombre d'habitants.

Le nuage de points étant presque rectiligne, on l'ajuste par la droite $\mathcal{D}$ d'équation :

$$y=52x+4190$$

1. Vérifier que la droite $\mathcal{D}$ est un ajustement raisonnable : calculer la valeur donnée par le modèle pour $x=5$ et la comparer au relevé de $2011$.

2. À l'aide du modèle, estimer la population de la commune pour chacune des années suivantes : a. $2009$ ; b. $2019$ ; c. $2023$ ; d. $2040$.

3. Pour chacune de ces quatre estimations, dire s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation. Justifier à l'aide de la plage des données.

4. Classer ces quatre estimations de la plus fiable à la moins fiable, en justifiant le classement.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée : par un argument court si l'affirmation est vraie, par un contre-exemple chiffré si elle est fausse.

a. « Le point moyen d'un nuage de points est toujours l'un des points du nuage. »

b. Dans un lycée de $100$ élèves, on croise le caractère « fait du théâtre » avec le caractère « fille / garçon » :

« $75\mathrm{\%}$ des élèves qui font du théâtre sont des filles, donc $75\mathrm{\%}$ des filles font du théâtre. »

c. « Si deux grandeurs évoluent ensemble (quand l'une augmente, l'autre augmente aussi), alors l'une est forcément la cause de l'autre. »

d. « Une estimation faite à l'intérieur de la plage des données observées (interpolation) est en général plus fiable qu'une estimation faite au-delà de cette plage (extrapolation). »

e. « La droite de Mayer d'un nuage de points passe par les deux points moyens partiels $G_1$ et $G_2$. »

Depuis $1993$, des satellites mesurent l'élévation du niveau moyen des mers. Le tableau donne l'élévation $y$ (en mm, par rapport au niveau de $1993$) en fonction du nombre $x$ d'années écoulées depuis $1993$.

1. Décrire la forme du nuage de points. Un ajustement affine paraît-il adapté ?

2. On utilise la méthode de Mayer. Calculer les coordonnées du point moyen $G_1$ des $4$ premiers points, puis celles du point moyen $G_2$ des $4$ derniers points.

3. Déterminer l'équation réduite de la droite $(G_1{G}_2)$.

4. Interpréter le coefficient directeur de cette droite dans le contexte de l'exercice.

5. À l'aide de ce modèle, estimer l'élévation du niveau des mers en $2050$ par rapport à $1993$. Exprimer le résultat en mm puis en cm. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

6. Question critique. Les mesures les plus récentes montrent que la montée du niveau des mers s'accélère (elle est de plus en plus rapide). L'estimation de la question 5, obtenue avec un modèle affine, est-elle alors plutôt optimiste ou plutôt pessimiste ? Justifier.

Dans un pays, on a relevé sur $8$ années le prix moyen $x$ du paquet de cigarettes (en euros) et la proportion $y$ de fumeurs quotidiens dans la population adulte (en $\mathrm{\%}$).

Un tableur fournit la droite des moindres carrés associée à ce nuage : $y=-\mathrm{1,57}x+\mathrm{38,2}$.

1. Décrire le lien apparent entre les deux caractères étudiés sur cette population.

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.

3. Vérifier par le calcul que la droite des moindres carrés passe très près du point $G$.

4. Interpréter le coefficient directeur de la droite dans le contexte de l'exercice.

5. Estimer la proportion de fumeurs quotidiens pour un prix du paquet de $\mathrm{7,50}$ €. Interpolation ou extrapolation ?

6. Estimer de même la proportion de fumeurs pour un prix de $15$ €. Pourquoi cette estimation doit-elle être considérée avec beaucoup de prudence ? Donner au moins deux raisons concrètes.

7. Résoudre l'inéquation $-\mathrm{1,57}x+\mathrm{38,2}<20$. Interpréter le résultat, puis commenter la portée de cette prédiction.

8. Esprit critique. Ce lien apparent entre prix et tabagisme prouve-t-il que la hausse du prix cause la baisse du tabagisme ? Citer d'autres facteurs qui ont pu jouer sur la même période.