Devoir surveillé — Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Les trois questions sont indépendantes.

1. Calculer sans calculatrice.

   a. ${49}^{1\mathrm{/}2}$

   b. ${27}^{1\mathrm{/}3}$

   c. ${16}^{1\mathrm{/}4}$

   d. $100{000}^{1\mathrm{/}5}$

2. Écrire chaque nombre sous la forme $3^x$.

   a. $3^{\mathrm{1,2}}\times 3^{\mathrm{0,8}}$

   b. ${\displaystyle \frac{3^{\mathrm{4,5}}}{3^{\mathrm{2,5}}}}$

   c. ${\left(3^{\mathrm{0,5}}\right)}^4$

   d. $3^{\mathrm{2,5}}\times 3^{\mathrm{0,5}}$

3. Sans effectuer de calcul, donner le sens de variation sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ de chacune des fonctions suivantes, en justifiant par une phrase.

   a. $x\mapsto {\mathrm{1,02}}^x$

   b. $x\mapsto {\mathrm{0,85}}^x$

La capacité maximale de la batterie d'un smartphone diminue d'environ $4\mathrm{\%}$ par année d'utilisation. On note $C(x)$ la capacité de la batterie, exprimée en pourcentage de la capacité initiale, au bout de $x$ années d'utilisation ; ainsi $C(0)=100$.

La courbe représentative de la fonction $C$ sur l'intervalle $[0;12]$ est donnée ci-dessous.

1. Justifier que, pour tout $x⩾0$, on a $C(x)=100\times {\mathrm{0,96}}^x$.
2. Calculer $C(2)$, arrondir au dixième. Interpréter le résultat.
3. Donner le sens de variation de la fonction $C$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ en justifiant, puis dresser son tableau de variations.
4. Le constructeur considère qu'une batterie est « à remplacer » lorsque sa capacité passe sous $80\mathrm{\%}$. Par lecture graphique, au bout de combien d'années environ est-ce le cas ? Faire apparaître les traits de lecture.
5. Vérifier par le calcul : calculer $C(5)$ et $C(6)$ (arrondir au dixième), puis conclure sur le moment où la batterie devient « à remplacer ».
6. D'après ce modèle, la capacité de la batterie peut-elle atteindre $0\mathrm{\%}$ ? Justifier.

Une salle d'escalade a enregistré $12500$ entrées en 2023 et $16000$ entrées en 2026, soit trois évolutions annuelles successives.

1. Calculer le coefficient multiplicateur global du nombre d'entrées entre 2023 et 2026.
2. En déduire le taux d'évolution moyen annuel du nombre d'entrées, arrondi au dixième de pourcent. Détailler le calcul.
3. Vrai ou faux, en justifiant : « La fréquentation a augmenté en moyenne de ${\displaystyle \frac{28}{3}}\approx \mathrm{9,3}\mathrm{\%}$ par an. »
4. Si le taux d'évolution moyen trouvé à la question 2 se maintient, combien d'entrées peut-on prévoir en 2028 ? Arrondir à la centaine.

Dans un lycée de $1200$ élèves, $5$ élèves apprennent une rumeur un lundi matin (jour $0$). On modélise la propagation ainsi : chaque jour, le nombre d'élèves au courant de la rumeur est multiplié par $\mathrm{1,8}$. On note $R(x)$ le nombre d'élèves au courant au bout de $x$ jours, de sorte que

$$R(x)=5\times {\mathrm{1,8}}^x$$

1. Calculer $R(3)$, arrondir à l'unité. Interpréter le résultat.

2. Donner le sens de variation de la fonction $R$ en justifiant. La rumeur se propage-t-elle de plus en plus vite ? Expliquer.

3. On veut déterminer au bout de combien de jours plus de la moitié du lycée, soit $600$ élèves, sera au courant de la rumeur. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour qu'il affiche ce nombre de jours.

   R = 5
   n = 0
   while R ... 600:
       R = ... * R
       n = n + 1
   print(n)
   

4. Quelle valeur ce script affiche-t-il ? Vérifier à la calculatrice en présentant les calculs.

5. Calculer $R(10)$, arrondir à l'unité, puis expliquer pourquoi le modèle cesse d'être valable.